关于斯皮瓦克《微积分》定理7-1中f(α)>0情况的证明困惑

嘿，我来帮你理清这个困惑！你其实没搞错核心逻辑，这里的关键是要把集合$A$的定义和定理6-3的结论结合起来看，证明里的这句话不是错误，而是用来引出矛盾的关键环节。

咱们一步步拆解：

1. 先回顾集合$A$的定义：
   $$A = {x : a \le x\le b, \mbox{且} f \mbox{在区间} [a,x] \mbox{上恒负}}$$
   划重点：如果某个$x_0$属于$A$，那根据定义，整个区间$[a,x_0]$上的$f$值都是负的，包括$f(x_0) < 0$——这是$A$中元素的固有属性，和后面的$\delta$取值无关。

2. 当我们假设$f(\alpha) > 0$时，根据定理6-3（连续函数的保号性），存在一个$\delta > 0$，使得在区间$(\alpha - \delta, \alpha + \delta)$内的所有$x$都满足$f(x) > 0$。

3. 接下来，$\alpha$是$A$的最小上界，这意味着：必然存在某个$x_0 \in A$，满足$\alpha - \delta < x_0 < \alpha$。为什么？如果$(\alpha - \delta, \alpha)$里没有任何$A$的元素，那$\alpha - \delta$就会成为$A$的一个更小的上界，这和$\alpha$是最小上界的定义矛盾。

4. 现在矛盾就出现了：

   • 一方面，$x_0 \in A$ ⇒ $f(x_0) < 0$（因为$[a,x_0]$上$f$恒负）；
   • 另一方面，$x_0 \in (\alpha - \delta, \alpha)$ ⇒ $f(x_0) > 0$（因为定理6-3的保号性结论）。

同一个点$x_0$不可能同时满足$f(x_0) < 0$和$f(x_0) > 0$，这就说明我们最开始假设$f(\alpha) > 0$是错误的。

你之前的困惑是觉得“$f$在$[a,x_0]$上负”和$x_0$在$f>0$区间里冲突，但这正是证明想要的效果——通过这个矛盾，推翻$f(\alpha) > 0$的可能性，从而得出$f(\alpha)=0$的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者naz