1993年全俄奥林匹克竞赛10年级第4轮嵌套根式不等式证明方法问询

我收到了一封邮件里的有趣问题，它来自1993年全俄奥林匹克竞赛10年级第4轮。需要证明的是：

$$\sqrt{2 + \sqrt[3]{3 + \cdots + \sqrt[1993]{1993}}} < 2$$

我已经用电子表格轻松验证了这个结论，但显然这没抓住问题的核心，也少了解题的乐趣。

我尝试了几种方法，但不确定该怎么推进：

• 我想到了AM-GM不等式，但没找到合适的替换方式。
• 我还想到了由无数个2组成的嵌套平方根：
  $$ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots }} = 2 $$
  这个式子确实收敛到2。不过对比我们要解决的这个嵌套根式，$\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}$，所以逐项比较的方法没法帮我们证明这个嵌套和更小。

这是给有天赋的10年级学生（我猜大概15岁）的题目，所以肯定有不那么高深的证明方法！解决这个问题的关键思路是什么呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Presh