关于无限偏序集是否必含同构真子偏序集的技术问询

我最近遇到一个关于无限偏序集的问题，想跟大家探讨：

Given an infinite poset $P$, does it always contain a proper subposet $Q \subsetneq P$ such that $P$ and $Q$ are isomorphic as posets?

这个问题的由来是这样的：我发现对于自然数集上以整除关系定义的偏序集，存在（不可数的）无穷多种方式选出一个与原偏序集同构的真子集。具体来说，设$\mathbb{P}$是素数集合，考虑任意一组无限集合序列$(A_i){i \in \mathbb{P}}$，其中每个$A_i \subseteq \mathbb{N}{> 0}$且都是无限集。那么在偏序集$(\mathbb{N}, |)$中，所有满足素因数分解为$p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$（其中$k_i \in A_{p_i}$）的正整数构成的子偏序集，就和原偏序集同构；而且只要至少有一个$A_i \neq \mathbb{N}_{>0}$，这个子偏序集就是原集合的真子集。

这个性质看起来很有意思，所以我好奇还有哪些偏序集也具备这个特性。目前我还没找到任何反例，也就是说暂时没发现哪个无限偏序集不满足这个结论，但同时我也完全不知道该怎么证明这个结论的普遍性——毕竟无限偏序集的种类太丰富了，我找不到一个通用的结构来入手证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tamionv