导出范畴中直和项的恢复问题

嘿，这个问题挺有意思的，我来梳理下思路——先把问题明确下来：

设$E,F\in D^{b(X)$，其中$D}b(X)$是光滑代数簇$X$上凝聚层的有界导出范畴。如果$E \oplus E[1] \simeq F \oplus F[1]$，是否一定有$E \simeq F$？更进一步，把“平移1次”换成任意固定整数$n\in \mathbb{Z}$，类似的结论是否成立？

先从特殊情况入手：比如$\mathbb{P}^n$或光滑射影曲线 #

在这类常见的光滑簇上，$D^b(X)$的结构比较清晰，而且满足Krull-Schmidt性质——简单说就是每个对象都能唯一分解成不可分解对象的直和（同构意义下，顺序无关）。

拿$\mathbb{P}^n$举例，导出范畴里的不可分解对象都是线丛的平移，比如$O(k)[m]$，其中$k$是线丛的次数，$m$是平移次数。假设$E = \bigoplus O(k_i)[m_i]$，$F = \bigoplus O(l_j)[n_j]$，那么$E\oplus E[1] = \bigoplus O(k_i)[m_i] \oplus O(k_i)[m_i+1]$，$F\oplus F[1] = \bigoplus O(l_j)[n_j] \oplus O(l_j)[n_j+1]$。

根据Krull-Schmidt的唯一性，两边的不可分解项必须一一对应同构。而线丛的不同平移显然不同构（比如$O[k]$和$O[m]$，当$k≠m$时，它们的Hom群维度不同，不可能同构），所以$E$和$F$的直和项必须完全匹配，自然$E\simeq F$。

光滑射影曲线的情况类似，导出范畴的不可分解对象也是线丛的平移，同样能推出$E\simeq F$。

一般情况：得看范畴里有没有“自平移同构”的对象 #

回到一般的光滑簇$X$，$D^b(X)$依然是Krull-Schmidt三角范畴，所以我们把$E,F$分解成不可分解直和：

• $E = \bigoplus_{i} E_i$，每个$E_i$不可分解
• $F = \bigoplus_{j} F_j$，每个$F_j$不可分解

那么$E\oplus E[n] = \bigoplus_i (E_i \oplus E_i[n])$，$F\oplus F[n] = \bigoplus_j (F_j \oplus F_j[n])$。根据唯一性，左边的每个$(E_i \oplus E_i[n])$要么对应右边的$(F_j \oplus F_j[n])$（即$E_i\simeq F_j$），要么对应$(F_j[n] \oplus F_j[2n])$——这就要求$E_i\simeq F_j[n]$且$E_i[n]\simeq F_j$，也就是$E_i[2n]\simeq E_i$，但$E_i[n]\not\simeq E_i$（否则$E_i\simeq F_j$，还是回到第一种情况）。

这时候就出现反例了：如果存在这样的不可分解对象$C$，满足$C[2n]\simeq C$但$C[n]\not\simeq C$，那取$E=C$，$F=C[n]$，就有$E\oplus E[n] = C\oplus C[n] = C[n]\oplus C[2n] = C[n]\oplus C = F\oplus F[n]$，但$E\not\simeq F$。

不过要注意，这种反例不是随便哪个光滑簇都存在的——比如在K3曲面或Calabi-Yau簇上，可能存在满足$C[d]\simeq C$（$d$是簇的维数）的球形对象，但如果$n≠d$，不一定能找到这样的$C$；而在像$\mathbb{P}^n$这种“刚性”较强的簇上，根本不存在这样的自平移同构对象，所以原问题的答案就是肯定的。

总结一下 #

• 如果$D^b(X)$里没有不可分解对象$C$满足$C[n]\simeq C$但$C\not\simeq C[k]$（$0<k<n$），那么$E\oplus E[n] \simeq F\oplus F[n]$一定能推出$E\simeq F$，比如$\mathbb{P}^n$、一般的光滑射影曲线都属于这种情况。
• 如果$D^b(X)$里存在这样的对象$C$，那就有反例：$E=C$，$F=C[n]$，两者不同构，但它们的直和加平移后的直和是同构的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yuri