请求概率测度下确界及σ-代数集合与原代数集合对称差概率下确界的证明思路提示

嘿，你好！其实不用纠结反证法哦，这个问题用**单调类定理（或者更常用的Dynkin系统方法）**会更顺畅，这是测度论里从代数生成σ-代数时的经典技巧，给你几个关键思考节点：

• 先定义一个集合族 ( \mathcal{D} = { C \in \sigma(\mathcal{A}) \mid \inf_{B \in \mathcal{A}} P(C \triangle B) = 0 } )，我们的核心目标就是证明 ( \mathcal{D} = \sigma(\mathcal{A}) )
• 第一步先验证 ( \mathcal{A} \subseteq \mathcal{D} )：这一步超直观，对任意 ( A \in \mathcal{A} )，直接取 ( B=A )，对称差 ( A\triangle A = \emptyset )，概率为0，下确界自然也是0，所以代数里的所有元素都在( \mathcal{D} )里
• 接下来要证 ( \mathcal{D} ) 是一个Dynkin系统：
  • 首先全空间 ( \Omega \in \mathcal{D} )：因为( \Omega \in \mathcal{A} )，而我们已经知道( \mathcal{A} \subseteq \mathcal{D} )，这一步直接成立
  • 封闭于补运算：如果 ( C \in \mathcal{D} )，那对任意小的( \epsilon>0 )，总能找到( B \in \mathcal{A} )使得( P(C \triangle B) < \epsilon )。注意到( C^c \triangle B^c = C \triangle B )，而且因为( \mathcal{A} )是代数，( B^c )也属于( \mathcal{A} )，所以( \inf_{B \in \mathcal{A}} P(C^c \triangle B) \leq P(C^c \triangle B^c) = P(C \triangle B) < \epsilon )。由于( \epsilon )可以任意小，下确界必然是0，所以( C^c \in \mathcal{D} )
  • 封闭于不交可数并：假设( C_1,C_2,\dots \in \mathcal{D} )两两不交，令( C = \bigcup_{n=1}^\infty C_n )。对任意( \epsilon>0 )，每个( C_n )都能找到对应的( B_n \in \mathcal{A} )满足( P(C_n \triangle B_n) < \epsilon / 2^n )。因为( \mathcal{A} )是代数，我们可以把这些( B_n )调整为两两不交的（比如取( B_n' = B_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} B_k )，结果还是属于( \mathcal{A} )）。然后取足够大的N，令( B = \bigcup_{n=1}^N B_n' )，此时可以估算( P(C \triangle B) )：它不会超过( \sum_{n=1}^\infty P(C_n \triangle B_n') + P(\bigcup_{n=N+1}^\infty C_n) + P(\bigcup_{n=N+1}^\infty B_n') )，前一项小于( \sum_{n=1}^\infty \epsilon/2^n = \epsilon )，后两项当N足够大时可以任意小，所以整体能小于( 2\epsilon )。同样因为( \epsilon )任意小，下确界是0，所以( C \in \mathcal{D} )
• 最后一步收尾：因为( \mathcal{A} )是代数，它生成的σ-代数( \sigma(\mathcal{A}) )是包含( \mathcal{A} )的最小Dynkin系统，而我们已经证明( \mathcal{D} )包含( \mathcal{A} )且是Dynkin系统，所以( \sigma(\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{D} )。再结合( \mathcal{D} )的定义，( \mathcal{D} \subseteq \sigma(\mathcal{A}) )是显然的，所以两者相等，也就证明了原命题

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jirraffe