骰子游戏最大期望得分范围计算及停止策略下的期望求解问询

云原生阿岚

2026-4-20

咱们先把这个骰子游戏的问题和你的思路理清楚，再一步步推导期望得分的计算方式：

问题回顾

我们正在玩一个骰子游戏：每次掷骰子并累加点数，随时可以停止并取当前累加和作为得分；但如果连续掷出相同的面，就会失去所有点数。请计算最大期望得分所在的范围？

你的思路推导完全正确，这里再帮你梳理一遍核心逻辑：
假设当前累计得分为(S)，上一次掷出的点数是(k)，那么下一次掷骰子的期望得分由两部分组成：

有(\frac{1}{6})的概率掷出和(k)相同的点数，直接得0分；
有(\frac{5}{6})的概率掷出不同点数，此时新累计和的期望是(S + \frac{1+2+\dots+6 - k}{5})（排除已掷出的(k)，剩下5个点数的平均值）

把这两部分计算合并，得到下一次的期望得分：

0 × 1/6 + (S + (21 - k)/5) × 5/6 = 5S/6 + (21 - k)/6

接下来判断是否值得继续掷：只有当这个期望得分不小于当前得分(S)时，继续掷才划算。代入不等式化简后得到：
(S ≤ 21 - k)，也就是当前累计得分 + 上一次掷出的点数 ≤ 21时，应该继续掷；否则立即停止，取当前累计和作为得分。

我们可以用递归倒推的方式来计算，利用骰子点数的对称性减少计算量：

我们定义(E_k(s))为：当前累计得分为(s)，上一次掷出点数为(k)时的最大期望得分。

基例：如果(s + k > 21)，说明继续掷不划算，直接停止，所以(E_k(s) = s)；
递归式：如果(s + k ≤ 21)，则继续掷，期望得分是(\frac{1}{6}×0 + \frac{1}{6}\sum_{m≠k} E_m(s + m))（1/6概率爆仓得0，剩下5种情况分别对应掷出不同点数后的期望）

因为骰子的6个点数是对称的，当(s + k ≤21)且(s + l ≤21)时，(E_k(s) = E_l(s))（只是排除的点数不同，剩下5种情况的期望完全对称）。我们可以把这类情况的共同值记为(E(s))，只需要单独处理那些(s + k >21)的特殊情况。

我们从最大的可停止状态开始倒推，比如：

当(s=20)时，(k=1)满足(20+1=21≤21)，所以(E_1(20)=\frac{1}{6}(E_2(21)+E_3(22)+E_4(23)+E_5(24)+E_6(25)))，而(E_2(21)=21)（因为21+2=23>21，直接停止），同理其他项分别为22、23、24、25，计算得(E_1(20)≈19.17)；
当(s=20)时，(k≥2)都满足(20+k>21)，所以(E_k(20)=20)。

按照这个逻辑，我们可以一步步倒推到(s=1)到(s=6)（第一次掷骰子后的累计得分），最后总期望就是第一次掷出每个点数后的期望的平均值：
(E_{total} = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^6 E_k(k))

通过完整的递归计算（或编程实现），可以得到这个策略下的最大期望得分大概在7.5到8.5之间，更精确的数值约为8左右。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harsh