复合命题可满足性判定及分步求解请求

没问题，我来一步步帮你判定这个复合命题的可满足性。首先明确：一个复合命题是可满足的，当且仅当存在至少一组命题变元（p、q、r、s）的真值赋值（真记为1，假记为0），让整个合取式的所有子句都为真。

首先把原命题拆成各个子句（每个括号内的析取式），方便逐一分析：

1. ¬p ∨ ¬q ∨ r
2. ¬p ∨ q ∨ ¬s
3. p ∨ ¬q ∨ ¬s
4. ¬p ∨ ¬r ∨ ¬s
5. p ∨ q ∨ ¬r
6. p ∨ ¬r ∨ ¬s

第一步：先找隐含的约束条件 #

观察子句4和子句6：

• 子句4：¬p ∨ ¬r ∨ ¬s
• 子句6：p ∨ ¬r ∨ ¬s

不管p取1还是0，这两个子句要同时为真的话，¬r ∨ ¬s必须为真（因为如果p=1，子句6的p为真，但子句4需要¬r∨¬s为真；如果p=0，子句4的¬p为真，但子句6需要¬r∨¬s为真）。所以我们先得到一个核心约束：r和s不能同时为真（即r=1时s必须为0，s=1时r必须为0）。

第二步：尝试赋值验证 #

我们先假设p=1（真），代入所有子句简化：

• 子句1：¬1 ∨ ¬q ∨ r → 0 ∨ ¬q ∨ r → 简化为 ¬q ∨ r（必须为真）
• 子句2：¬1 ∨ q ∨ ¬s → 0 ∨ q ∨ ¬s → 简化为 q ∨ ¬s（必须为真）
• 子句3：1 ∨ ¬q ∨ ¬s → 1（自动满足，无需额外约束）
• 子句4：¬1 ∨ ¬r ∨ ¬s → 0 ∨ ¬r ∨ ¬s → 就是我们之前得到的核心约束，需满足
• 子句5：1 ∨ q ∨ ¬r → 1（自动满足）
• 子句6：1 ∨ ¬r ∨ ¬s → 1（自动满足）

现在在p=1的前提下，只需要满足：¬q ∨ r、q ∨ ¬s、¬r ∨ ¬s。

接下来假设q=1（真），继续代入：

• ¬q ∨ r → ¬1 ∨ r → 0 ∨ r → 要求r=1
• q ∨ ¬s → 1 ∨ ¬s → 1（自动满足）
• 结合核心约束¬r ∨ ¬s，r=1时要求¬s=1 → s=0

现在我们得到一组完整赋值：p=1, q=1, r=1, s=0

第三步：验证这组赋值是否满足所有子句 #

把赋值代入每个子句：

1. ¬1 ∨ ¬1 ∨ 1 → 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ✔️
2. ¬1 ∨ 1 ∨ ¬0 → 0 ∨ 1 ∨ 1 = 1 ✔️
3. 1 ∨ ¬1 ∨ ¬0 → 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ✔️
4. ¬1 ∨ ¬1 ∨ ¬0 → 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ✔️
5. 1 ∨ 1 ∨ ¬1 → 1 ∨ 1 ∨ 0 = 1 ✔️
6. 1 ∨ ¬1 ∨ ¬0 → 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ✔️

所有子句都为真，说明这组赋值是有效的。

结论 #

既然找到了至少一组能让整个复合命题为真的真值赋值，那么这个复合命题是可满足的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zainab Alturaiki