关于迹运算等式Tr(M |ψ⟩⟨φ|)=⟨φ|M|ψ⟩的证明正确性验证及严谨性条件咨询

我正在自学量子力学，在某本书的第76页看到了这个等式：$Tr(M |\psi\rangle\langle\psi)=\langle\psi| M |\psi\rangle$。为了确认自己对这个公式的理解是准确的，我尝试证明一个更具一般性的表达式：$Tr(M |\psi\rangle\langle\phi|)=\langle\phi| M |\psi\rangle$（其中$M$是一个算子）。我自己梳理了证明过程，想请教大家：这个证明是否正确？有没有遗漏什么条件可以让证明更严谨？

我的证明步骤如下：

1. 我们知道迹的定义是$Tr(A) = \sum_i \lambda_i$，其中$\lambda_i$是算子$A$的所有特征值。如果$|i\rangle$是对应$\lambda_i$的特征向量，那么由于$A|i\rangle=\lambda_i |i\rangle$，可以推导出$Tr(A) = \sum_i \langle i|A|i\rangle$。
   备注：为了简化书写，我假设每个特征值只对应一个特征向量（个人觉得就算存在简并情况，证明也不会有太大变动）。
2. 令$A=M |\psi\rangle \langle \phi|$，那么以$|i\rangle$作为$M |\psi\rangle \langle\phi|$的特征向量，可得：
   $Tr(M |\psi\rangle\langle\phi|)= \sum_i \langle i|M |\psi\rangle \langle \phi|i\rangle = \sum_i \langle \phi|i\rangle \langle i|M |\psi\rangle = \langle \phi| (\sum_i |i\rangle \langle i| ) M |\psi\rangle $
   这里的$\sum_i |i\rangle \langle i| = I$是单位算子，因为它是一组正交归一基上的投影算符之和，构成了完备集。
3. 由此最终得到$Tr(M |\psi\rangle \langle \phi|)=\langle \phi| M |\psi\rangle $

嗨，你的证明核心逻辑是完全正确的！不过有几个细节可以调整，让它变得更严谨普适：

• 不必局限于特征基：迹的关键性质是，对于任意一组正交归一基${|i\rangle}$，都有$Tr(A)=\sum_i \langle i|A|i\rangle$，这和${|i\rangle}$是不是$A$的特征基毫无关系。你这里特意用了$M|\psi\rangle\langle\phi|$的特征向量，反而给自己加了“非简并”的限制——换成任意正交归一基的话，不仅能直接去掉你备注里的顾虑，还能让证明的适用范围更广。
• 推导链条没问题：从迹的展开，到重新排列内积顺序，再利用完备性关系式$\sum_i |i\rangle\langle i|=I$，最后得到结果，这个逻辑是通顺的，每一步的代数操作都符合量子力学的运算规则。
• 需要补充的严谨性条件：
  • 明确$M$是线性算子（量子力学里的算子几乎都是线性的，但严谨起见最好明确这一点）；
  • 说明${|\psi\rangle, |\phi\rangle}$是所在希尔伯特空间中的向量，且${|i\rangle}$是该空间的正交归一完备基（这是你用到完备性的前提，必须明确）；
  • 如果涉及无限维希尔伯特空间，要补充“该求和是收敛的”（不过基础量子力学场景里，一般默认是有限维或可处理的无限维情况，这个可以作为补充说明）。

总结一下：你的证明思路是对的，只要把“用特征向量基”换成“用任意正交归一基”，再补充上述几个前提条件，整个证明就非常严谨了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者OffHakhol