关于Mokobodzki定理（无快速滤子是勒贝格可测的）证明的若干技术疑问
我正在学习Schindler《Set Theory: Exploring Independence and Truth》（2014）第178-180页的如下定理：
Theorem 9.16 (Mokobodzki) No rapid filter $F \subset {}^\omega 2$ is Lebesgue measurable.
下面是证明梗概：
设 $\epsilon_n = \frac{1}{2n+1}$ 对 $n < \omega$。根据引理9.14（一个扩展了Fréchet滤子的非平凡勒贝格可测滤子是“小的”），我们可以将 $F$ 表示为 $F \subset (I, J)$，其中对每个 $n < \omega$，
$$μ(\lbrace {}^\omega 2: x \restriction_{I_n} \in J_n \rbrace) < \epsilon_n.$$
对 $n<\omega$，定义：
$$J_n^{\star} = \lbrace s\in J_n: \forall t \in {}^{I_n}2 (\forall k\in I_n s(k) \leq t(k) \rightarrow t \in J_n)\rbrace.$$
可以证明 $F\subset (I, J^{\star})$。
接下来定义：
$$\blacklozenge(n) = min \lbrace \overline{\overline{\lbrace k\in I_n: s(k) = 1 \rbrace}} : s \in J_n^{\star} \rbrace$$
以及
$$J_n^{\star,min} = min \lbrace s\in J_n^{\star}:\overline{\overline{\lbrace k\in I_n: s(k) = 1 \rbrace}} = \blacklozenge(n) \rbrace.$$
我们有 $\blacklozenge(n) \geq n+1$。
然后定义函数 $f: \omega \rightarrow \omega$：
$$f(n) = max\lbrace\lbrace max(k): s(k) = 1\rbrace: s \in J_n^{\star, min}\rbrace$$ 对 $n < \omega$。
由于 $F$ 是快速滤子，存在 $b\in F$ 使得对所有 $n< \omega$，
$$\overline{\overline{\lbrace k: b(k) = 1 \rbrace \cap f(n)}} \leq n.$$
$b$ 必须属于 $(I, J^{\star})$，但这会导致矛盾，从而推出 $F$ 不是快速滤子。
我的疑问：
- 从 $J_n^{\star}$ 的定义可以推出：如果 $s \in J_n^{\star}$ 且对所有 $k \in I_n$ 有 $s(k) \leq s'(k)$，那么 $s' \in J_n^{\star}$。这一点是后续论证的必要前提吗？
- 后续论证中是不是需要用到 $m := |I_n| − \blacklozenge(n)$ 这个量？
- 为什么要这样定义函数 $f$？以及如何推导最后的矛盾——即 $b$ 不属于 $(I, J^{\star})$？
我无法理解Schindler关于最后一个问题的论证：假设 $b \in (I, J^{\star})$，即对所有 $n < \omega$，$b \restriction_{I_n} \in J_n^{\star}$。由于 $\blacklozenge(n) \geq n+1$，我们得到 $\lbrace k \leq max(I_n): b(k) = 1 \rbrace \subset I_n$ 且其最大值为 $f(n)$。因此，这样的 $n < \omega$ 最多只有一个。
非常感谢任何相关的帮助！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Caro Meier
