关于无需标量展开、利用矩阵链式法则推导矩阵微分公式的技术问询

引理（Lemma） #

设 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$、$B \in \mathbb{R}^{n\times k}$ 为矩阵，$f:\mathbb{R}^{m\times k} \to\mathbb{R}$ 是可微函数，令 $X = AB$，则有：
$$
\frac{\partial f(X)}{\partial A} = \Big(\frac{\partial f(X)}{\partial X}\Big)B^T,
$$
其中右侧为矩阵乘积，$\frac{\partial f(X)}{\partial X}$ 表示以 $\frac{\partial f(X)}{\partial X_{ij}}$ 为 $(i,j)$ 元素的矩阵。

常规标量展开式证明 #

一种推导方式是利用多元链式法则：
$$
\frac{\partial f(AB)}{\partial A_{ij}} = \sum_{k,l}\frac{\partial f(X)}{\partial X_{kl}}\cdot\frac{\partial X_{kl}}{\partial A_{ij}},
$$
注意到：
$$
\frac{\partial X_{kl}}{\partial A_{ij}} = \mathbb{1}{i=k}B{jl},
$$
代入后可得：
$$
\sum_{k,l}\frac{\partial f(X)}{\partial X_{kl}}\cdot\frac{\partial X_{kl}}{\partial A_{ij}} = \sum_{l}\frac{\partial f(X)}{\partial X_{il}}B_{jl} = \Big(\Big(\frac{\partial f(X)}{\partial X}\Big)B^T\Big)_{ij}.
$$
$$\tag*{$\blacksquare$}$$

我的疑问 #

这个要证明的公式看起来和单变量链式法则几乎一模一样——比如对于实数 $x = ab$，我们有：
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial a} = \Big(\frac{d f(x)}{dx} \Big)\cdot b,
$$
所以我一直在想，有没有一种合适的矩阵链式法则，能让我们直接看出这个引理的结论，不用像上面那样展开所有标量导数来推导？

我搜过“矩阵/张量链式法则”“矩阵/张量微积分”这类内容，但没找到完全契合需求的资料。我怀疑答案藏在张量微积分里，但找到的参考资料都太抽象了，看起来是给广义相对论这类更通用场景准备的，有点超出我的需求范围。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sebastian Monnet