关于带点空间指数法则中θ_*同胚性证明的疑问
你提到的带点空间的指数映射：
$$\theta_:Map_(X\wedge Y,B)\to Map_(Y,Map_(X, B))$$
其中$Map_$是带点紧开拓扑映射空间（仅包含保基点的映射），当X、Y是局部紧空间时，Dieck在《Algebraic Topology》的定理2.4.11中称这个映射是同胚。你尝试沿用无点情况的思路推导，但遇到了smash积结合性的障碍，还疑惑$Map_(X∧Y,B)$是否局部紧。
嗨，我来帮你梳理这个问题的解决思路～
首先直接回答你的第一个疑问：Map_*(X∧Y,B)不一定是局部紧的。虽然X和Y局部紧时X∧Y确实局部紧，但带点映射空间的局部紧性不仅依赖于定义域，还和值域B的性质强相关——只有当B满足额外条件（比如紧豪斯多夫）时，才有可能推出Map_*(X∧Y,B)局部紧，一般情况下这个结论不成立，所以你之前的这个思路走不通，得换个更直接的方法。
其实Dieck书中这个定理的证明，不需要依赖smash积的结合性，而是可以通过无点版本的指数法则+带点映射空间的子空间性质来推导，具体步骤如下：
先回忆带点空间的基本等价关系：
带点映射$f: X∧Y \to B$，本质上等价于带点映射$f': X×Y \to B$，且$f'$在“楔积”$X∨Y = X×{y_0} \cup {x_0}×Y$上恒取B的基点$b_0$（因为smash积就是把X∨Y捏成一个基点得到的商空间）。关联无点指数法则：
无点版本的指数法则告诉我们，当X局部紧时，映射$\theta: Map(X×Y,B) \to Map(Y,Map(X,B))$是同胚。现在我们把带点的$\theta_$和这个无点$\theta$联系起来：
对于$f \in Map_(X∧Y,B)$，对应的$f' \in Map_(X×Y,B)$，那么$\theta(f')$是一个从Y到Map(X,B)的映射；
因为$f'$在${x_0}×Y$上取$b_0$，所以$\theta(f')(y)(x_0) = f'(x_0,y) = b_0$，即$\theta(f')(y) \in Map_(X,B)$；
同时，$\theta(f')(y_0)(x) = f'(x,y_0) = b_0$，所以$\theta(f') \in Map_(Y,Map_(X,B))$。
换句话说，$\theta_$其实就是无点$\theta$在子空间$Map_(X∧Y,B)$上的限制，且像恰好落在$Map_(Y,Map_(X,B))$里。验证$\theta_*$是同胚：
- 双射性：构造逆映射$\varphi_: Map_(Y,Map_(X,B)) \to Map_(X∧Y,B)$，对任意$g \in Map_(Y,Map_(X,B))$，定义$f([x,y]) = g(y)(x)$。因为$g(y_0)(x)=b_0$且$g(y)(x_0)=b_0$，所以$f$在X∨Y的等价类上取值为$b_0$，定义合理，且显然$\varphi_$是$\theta_$的逆。
- 连续性：$\theta_$是连续映射$\theta$在子空间上的限制，自然连续；逆映射$\varphi_$是无点指数法则逆映射$\theta{-1}$在子空间$Map_*(Y,Map_*(X,B))$上的限制，而$\theta{-1}$是连续的，且它把这个子空间映到$Map_(X∧Y,B)$，所以$\varphi_$也连续。
这样就绕开了smash积结合性的问题，纯粹利用无点指数法则和带点映射空间的子空间拓扑性质完成了证明～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fernando Chu
