Grimmett & Stirzaker《Probability and Random Processes》习题3.1.4推导疑问

题目回顾 #

设$S_k$是十进制表示恰好有k位的正整数集合（例如，$1024 \in S_4$）。反复抛掷一枚公平硬币直到首次出现正面，记所需抛掷次数为$T$。从$S_T$中随机选取一个元素$N$，每个元素被选中的概率相等。求$N$的质量函数。

你遇到的推导混淆 #

你看到的解法给出了这样的等式：
$$P(N=k) = P(N=k|T = D_k)P(T=D_k)=\frac{1}{|S_{D_k}|}2^{-D_k}$$
其中$D_k$是整数$k$的十进制位数，但你错误地对应了两个概率项，认为：
$$P(N=k|T = D_k)=2^{-D_k}$$
$$P(T=D_k)=\frac{1}{|S_{D_k}|}$$

理清逻辑，纠正混淆 #

嘿，我来帮你把这里的对应关系掰明白！你完全搞反了两个概率的定义，咱们拆开来一步步看：

1. 先明确核心定义

   • $D_k$：就是整数$k$的位数，比如k=56的话$D_k=2$，k=999的话$D_k=3$；而$|S_{m}|$是m位正整数的总数，等于$9\times10^{m-1}$（首位1-9，后面m-1位0-9）。
   • $T$是首次抛出正面的次数，这是几何分布，所以对任意正整数m，$P(T=m)=2^{{-m}$——毕竟要抛m次才首次出正面，意味着前m-1次都是反面，第m次正面，概率就是$(1/2)}{m-1}\times(1/2)=2^{-m}$。

2. 拆解条件概率$P(N=k|T=D_k)$
   这个条件的意思是：已知我们抛了$D_k$次才得到首次正面，也就是要从$S_{D_k}$这个集合里随机选元素。因为题目说每个元素等概率被选，而k本身就在$S_{D_k}$里（毕竟$D_k$就是k的位数呀），所以选中k的概率就是集合$S_{D_k}$的元素总数的倒数，也就是$\frac{1}{|S_{D_k}|}$——这才是对应“所有元素等可能”的部分。

3. 拆解$P(T=D_k)$
   这个概率是：**抛掷次数恰好等于k的位数$D_k$**的概率，也就是几何分布在$m=D_k$处的取值，所以它等于$2^{-D_k}$——这部分才对应硬币抛掷的概率。

所以正确的对应关系应该是：
$$P(N=k|T = D_k)=\frac{1}{|S_{D_k}|}, \quad P(T=D_k)=2^{-D_k}$$
代入全概率公式后，就得到了正确的质量函数：
$$P(N=k) = \frac{1}{|S_{D_k}|} \times 2^{-D_k}$$

这样是不是就把混淆的地方理清楚啦？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bazman