紧连通李群的基本群与有限中心子群Z的关系探究

我们知道，任何紧连通李群$G$都同构于一个环面$T$和一个单连通紧李群$J$的乘积模掉一个有限中心子群$Z\subseteq T\times J$，也就是：
$$G\simeq (T\times J)/Z.$$

核心问题 #

• 当环面$T$非平凡时，我们能不能通过$Z$来推断$\pi_1(G)$的信息？
• 反过来，如果$\pi_1(G)=\mathbb{Z}^n$，是不是意味着我们可以取$Z=1$？

已有的分析过程 #

先从半单的情况入手（也就是$T=1$），这时候$G\simeq J/Z$。我们可以用纤维化$J\rightarrow G$的同伦正合序列来分析，这个纤维化的纤维是$Z$，对应的正合序列是：
$$\pi_1(J)\rightarrow \pi_1(G)\rightarrow \pi_0(Z)\rightarrow \pi_0(J).$$
因为$J$是单连通的，所以$\pi_1(J)=0$，而且$J$连通所以$\pi_0(J)=0$，这样就能推出$\pi_1(G)\simeq \pi_0(Z)\simeq \mathbb{Z}_{|Z|}$——这个结果很清晰，半单情况下基本群就是$Z$的阶数对应的循环群。

那当$T$是一般的非平凡环面时，我们同样用同伦正合序列来推导：
$$\pi_1(Z)\rightarrow \pi_1(T\times J)\rightarrow \pi_1(G)\rightarrow \pi_0(Z)\rightarrow \pi_0(T\times J).$$
代入已知的同伦群：$Z$是有限群所以$\pi_1(Z)=1$，$T\times J$的基本群是$\pi_1(T)\times\pi_1(J)=\mathbb{Z}^{\dim(T)}\times 0=\mathbb{Z}^{\dim(T)}$，$T\times J$连通所以$\pi_0(T\times J)=0$，$Z$有限所以$\pi_0(Z)=\mathbb{Z}{|Z|}$，这样正合序列就简化成：
$$1\rightarrow \mathbb{Z}^{\mathrm{dim}(T)}\rightarrow\pi_1(G)\rightarrow \mathbb{Z}{|Z|}\rightarrow 1.$$

现在我们知道紧连通李群的基本群$\pi_1(G)$是有限生成阿贝尔群，这个正合序列能告诉我们$\pi_1(G)$的秩（就是$\dim(T)$），但问题是——我们怎么确定$\pi_1(G)$的挠部分呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chistlo