关于两个独立泊松分布随机变量之和的PMF推导思路的疑问

我正在研究下面这个概率问题：

问题：设$X \sim Poisson(\alpha)$和$Y \sim Poisson(\beta)$是两个独立的随机变量，定义新的随机变量$Z = X + Y$，求$Z$的概率质量函数（PMF）。

对应的标准推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
P_Z(k) & =P(X+Y=k) \
& =\sum_{i=0}^k P(X+Y=k \mid X=i) P(X=i) \quad \text { (全概率公式，LOTP) } \
& =\sum_{i=0}^k P(Y=k-i \mid X=i) P(X=i) \quad \quad \quad \text { (因为 } X+Y=k \text{ 且 } X=i \text{ 等价于 } Y=k-i\text{)} \
& =\sum_{i=0}^k P(Y=k-i) P(X=i) \quad \quad \text { (由于 } X\text{ 和 } Y\text{ 独立，条件概率等于边缘概率) } \
& =\sum_{i=0}^k \frac{e^{-\beta} \beta^{k-i}}{(k-i) !} \frac{e^{-\alpha} \alpha^i}{i !} \
& =e^{-(\alpha+\beta)} \sum_{i=0}^k \frac{\alpha^i \beta^{k-i}}{(k-i) ! i !} \
& =\frac{e^{-(\alpha+\beta)}}{k !} \sum_{i=0}^k \frac{k !}{(k-i) ! i !} \alpha^i \beta^{k-i} \
& =\frac{e^{-(\alpha+\beta)}}{k !} \sum_{i=0}^k\left(\begin{array}{c}
k \
i
\end{array}\right) \alpha^i \beta^{k-i} \
& =\frac{e^{-(\alpha+\beta)}}{k !}(\alpha+\beta)^k \quad \quad \text { (由二项式定理可得) }
\end{aligned}
$$

我能跟上每一步的代数运算，但我最大的疑问是：一开始怎么想到要用全概率公式（LOTP）展开，然后把表达式转化为关于Y的形式，再代入泊松分布的PMF呢？

看推导过程的时候觉得逻辑通顺，但就像“手里有锤子看什么都像钉子”一样，我自己一开始根本想不到这个切入点。这种思路的直觉是什么？还是说这只是一个需要死记硬背的“技巧”？

求解答，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IGottaLearnMath