正实数x满足∀n∈ℕ，n^x∈ℕ时证明x∈ℕ的数论问题求解

问题描述 #

给定正实数 ( x )，如果对每一个自然数 ( n \in \mathbb{N} )，都有 ( n^x \in \mathbb{N} )，求证 ( x \in \mathbb{N} )。

我的思考与进展 #

我先整理出一个关键的等价关系：对所有自然数 ( n )，( n^x \in \mathbb{N} ) 等价于 对所有素数 ( p \in \mathbb{P} )，( p^x \in \mathbb{N} )（这里 ( \mathbb{P} ) 代表全体素数的集合）。这么看来，我们其实只需要针对素数来分析问题，但接下来的推导我只完成了一半，先说说有理数的情况：

当 ( x ) 是有理数时的证明 #

假设 ( x = \frac{p}{q} )，其中 ( p,q ) 是互素的正整数，我们的目标是证明 ( q=1 )。
因为 ( 2^{\frac{p}{q}} = a )（( a ) 是自然数），两边同时取 ( q ) 次方可得 ( 2^p = a^q )。根据算术基本定理，( a ) 必然是2的幂次，设 ( a=2^k )（( k ) 是自然数），代入上式就有 ( 2^p = 2^{kq} )，所以指数必须相等：( p = kq )。
又因为 ( p ) 和 ( q ) 互素，也就是 ( \gcd(p,q) = \gcd(kq,q) = q = 1 )，所以 ( q=1 )，即 ( x = p ) 是自然数。这部分的推导应该是没问题的吧？

当 ( x ) 是无理数时的困惑 #

现在我卡在了无理数的情况，显然这里不能只考虑单个素数（比如只看2），因为存在像 ( 2^{\log_2 3}=3 ) 这样的例子——单个素数的幂可以是整数，但 ( x ) 却是无理数。所以肯定要用到“所有素数的 ( p^x ) 都是整数”这个条件来推导，但目前还没理清具体的思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aqualubix