关于不可约概形上等价态射与一般点芽等价性的证明问询

大家好，我最近在读Grothendieck的EGA第一卷里关于有理函数的章节（具体是7.1.4小节），碰到了一个卡壳的点，想请教一下各位大佬：

先铺垫一下相关的定义和背景：

• 设$X,Y$是两个概形，$U,V$是$X$中的稠密开集，态射$f:U\to Y$和$g:V\to Y$被称为等价的，当且仅当它们在$U\cap V$的某个开子集上重合。

EGA里有这么一段结论：

若$X$是不可约概形，则$X$的任意开子集都是稠密的。设$x$是$X$的一般点，那么从$X$的某些开子集到$Y$的任意两个态射等价，当且仅当它们在$x$处有相同的芽。

我目前只证得了其中的一个方向：如果$f:U\to Y$和$g:V\to Y$是等价态射，那么它们在$x$处有相同的芽。这个方向其实挺直观的——等价意味着它们在$U\cap V$的某个开子集上重合，而$U\cap V$是不可约概形$X$的稠密开集，必然包含一般点$x$，所以这个开子集就是包含$x$的，自然芽就相同了。

但反向的推导我怎么都理不清楚：如果两个态射在一般点$x$处有相同的芽，怎么证明它们是等价的呢？有没有大佬能给我梳理一下这个方向的证明思路呀？麻烦大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Functor