关于受限行列式的扩展：寻求满足特定性质的函数

嘿，我正在寻找这样一个函数：
$$f: (\mathbb{R}^{n \times n}, V \in \mathrm{Gr}(m, \mathbb{R}^n)) \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$$
它需要满足以下两个关键性质：

1. 对任意矩阵 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 以及任意 $m$ 维子空间 $V \in \mathrm{Gr}(m, \mathbb{R}^n)$，都有：
   $$f(AB, V) = f(A, V) \cdot f(B, V)$$

2. 对任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 以及任意 $m$ 维子空间 $V \in \mathrm{Gr}(m, \mathbb{R}^n)$，如果 $A$ 保持 $V$ 不变（即对所有 $v \in V$，都有 $Av \in V$），那么：
   $$f(A, V) = |\det(A_{|V})|$$

这里我用 $\mathrm{Gr}(m, \mathbb{R}^n)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 的所有 $m$ 维向量子空间。

我的核心需求是把受限行列式的概念扩展到那些不被矩阵 $A$ 保持的子空间上，同时还要保留乘法性质。目前我已经考虑过投影相关的思路，但还没找到完全符合要求的函数，希望能得到大家的指点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jannis