由两个单参数复矩阵群生成的群是否为李群的技术问询

嗨，各位大佬，我有个关于李群和矩阵指数的问题想请教：

给定两个$n×n$的复矩阵$A$和$B$，考虑它们各自生成的单参数群：
$\mathcal{A} = {e^{t A} , | , t ∈ \mathbb{R}}$，$\mathcal{B} = {e^{t B} , | , t ∈ \mathbb{R}}$。

现在想问问，由$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$共同生成的群$G$，是不是一个李群？换个等价的问法就是，集合
$$
\mathfrak{g} = {X , | , ∀ t ∈ \mathbb{R}, e^{t X} ∈ G }
$$
能不能构成一个李代数？

我自己先梳理了一点思路：我知道如果$G$是弧连通的，那根据Yamabe定理，它就一定是李群。而且我觉得$G$显然是道路连通的——毕竟$G$里的任意元素都能写成$e^{t_1 A} e^{t_2 B} \dotsb e^{t_{k} A} e^{t_{k+1} B}$这类乘积的形式，而每个这样的元素都可以通过连续调整参数$t_i$（比如把所有$t_i$连续降到0）来连接到单位元。不过我不确定这个思路是不是严谨，或者有没有什么反例存在？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者myca