请求验证非零实数的倒数非零的证明是否正确

我想请大家帮忙检查一下我关于**对所有$a\in\mathbb{R}$，若$a\neq 0$则$\frac{1}{a}\neq 0$**的证明是否正确。我的证明基于Bartle和Sherbert所著《实分析导论》第四版中的定义与假设，用到了书中的(M3)、(M4)以及定理2.1.2(c)，参考的是书中“2.1.1 实数的代数性质”这部分内容。

我的证明： #

Proof. 设$a\in\mathbb{R}$。假设$a\neq 0$。反设$\dfrac{1}{a}=0$。根据(M4)（非零实数的乘法逆元性质：非零实数$a$存在唯一乘法逆元$\frac{1}{a}$，满足$a\cdot\frac{1}{a}=1$），可得$1=a\cdot\dfrac{1}{a}=a\cdot0$。再根据定理2.1.2(c)（任意实数与0的乘积为0），$a\cdot0=0$。由此推出$1=0$，这与实数域中$1\neq0$的基本公理矛盾。因此反设不成立，即$\dfrac{1}{a}\neq 0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1320946