关于可微函数两点差商极限与导数关系的技术问询

大家好，我现在有个关于可微函数差商极限的问题想请教各位：

假设 $a \in \mathbb{R}$，$I \subseteq \mathbb{R}$ 是 $a$ 的邻域，函数 $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $a$ 处可微。

需求（满足其一即可）：

• 找到这样一个函数 $f$：存在序列 $(x_n), (y_n) \subset I$，满足对所有 $n$ 都有 $x_n \neq y_n$，且 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a = \lim\limits_{n \to \infty} y_n$，但是差商的极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n} = \xi \neq f^{\prime}(a)$；
• 找到这样一个函数 $f$：上述的差商序列直接发散（不存在有限或无穷极限）；
• 说明为什么我想要找的这类函数可能根本不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Colver