请求指导：用ε-δ反证法证明当$x\to 0$时$(1/x)\sin(1/x)$的极限不存在

我现在需要证明当$x\to 0$时，$\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$的极限不存在，目前用的是ε-δ反证法的思路：

• 先假设这个极限收敛到某个实数$L$
• 然后打算分两种情况讨论：$L\geq0$和$L<0$，想证明不管哪种情况，都无法满足极限的定义，从而推出矛盾，说明这样的$L$不存在，进而证明极限不存在

不过现在我卡在最后一步了——不知道该选择哪个$\varepsilon$，来让$\left|\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right) - L\right| > \varepsilon$成立，以此导出矛盾。

我整理了手写的推导过程，核心就是上面的反证法框架，现在急需这部分的指导，麻烦大家帮忙看看~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anonymous__