$\mathbb Q^n$中满足特定条件的子群是否为有限生成自由阿贝尔群的技术问询

嘿，各位代数领域的朋友们，我最近碰到这么一个问题，想和大家探讨下：

考虑$\mathbb Q^n$作为加法运算下的阿贝尔群，$G \subset \mathbb Q^n$是它的一个子群，满足如下条件：

对任意$v \in \mathbb Q^n$，子群$(\mathbb Q \cdot v) \cap G$要么同构于平凡群$0$，要么同构于$\mathbb Z$。

换个更直观的说法：不管看向$\mathbb Q^n$中任意元素的“方向”，只要这个方向与$G$有非平凡交集，那这个交集里一定存在一个生成元，也就是该交集是无限循环群。

现在我想确认：我们能否证明$G$是有限生成的自由阿贝尔群？

我自己先梳理了下思路：如果能先证明$G$作为阿贝尔群是有限生成的，那由于它是无挠的（毕竟每个单方向的交集要么平凡要么是$\mathbb Z$，不存在挠元），根据阿贝尔群的结构定理，它自然就是自由阿贝尔群了。但目前卡在了怎么证明$G$是有限生成的这一步，想听听大家的想法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cybcat