关于有限生成加法群环的右/左诺特性质的技术问询

先跟大家回顾一下相关定义：

一个环$R$被称为右（左）诺特环，当且仅当$R$的每个右（左）理想$I$都是有限生成的$R$-模，具体来说就是存在$x_1,\ldots,x_m \in I$，使得$I = x_1R + \ldots + x_mR$（左理想的话就是$I = Rx_1 + \ldots + Rx_m$）。

最近我在环论学习中遇到了一个疑问，想请各位帮忙解答：假设环$R$作为加法群是有限生成的——也就是存在$x_1,\ldots,x_m \in R$，满足$R = \mathbb{Z}x_1 + \ldots + \mathbb{Z}x_m$，那是不是$R$的每个右（或者左）理想都一定是有限生成的$R$-模呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hussein Eid