关于ℤ₃与3-adic数定义的理解验证及阶乘素数环序列的类似构造问询

我最近在读Jean-Pierre Serre 1970年的《Cours d'arithmetique》，在第二章开头关于$\mathbb Z_3$（3-adic数）的部分遇到了一些问题——我之所以对3-adic数感兴趣，是因为我在研究环序列$(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z/6\mathbb Z,\mathbb Z/30\mathbb Z,\dotsc,\mathbb Z/p#\mathbb Z,\dotsc)$时有相关的疑问。

Serre在书中写道：

设$n\geq 1, A_n:=\mathbb Z/3^n\mathbb Z$。$A_n$中的一个元素显然定义了$A_{n-1}$中的一个元素。

我是这样理解这段内容的：
若$\textbf{a}\in A_n$，则$\textbf{a}=a+3^n\mathbb Z$。对整数$a$做$3^{n-1}$的欧几里得除法：
$$a=3^{n-1}q+r$$
其中$0\leq r < 3^{n-1}$。那么：
$$a+3^n\mathbb Z=3^{n-1}q+r+3n\mathbb Z=r+3^{n-1}(q+3\mathbb Z)\subset r+3^{n-1}\mathbb Z$$
举个具体例子，$\mathbb Z/9\mathbb Z$到$\mathbb Z/3\mathbb Z$的映射就是：
$$0\mapsto0,\ 1\mapsto 1,\ 2\mapsto 2,\ 3\mapsto 0,\ 4\mapsto 1,\ 5\mapsto 2,\ \dots$$

Serre接着补充：

由此得到一个同态$\varphi_n:A_n\to A_{n-1}$，它是满射，核为$3^{n-1}A_n$。
根据定义，$\mathbb Z_3$中的元素是$x=(...,x_n,...,x_1)$，其中$x_n\in A_n$，且对$n\geq2$有$\varphi_n(x_n)=x_{n-1}$。

1. 我对Serre这段“显然”内容的理解是否正确？ #

我觉得自己的推导方向是对的，但可能需要补充良定义性验证：如果取$\textbf{a}$的另一个代表元$a'=a+3^n k$（$k\in\mathbb Z$），对$a'$做$3^{{n-1}$的欧几里得除法，得到的余数$r'$应该和$r$模$3}{n-1}$完全相等，这样映射到$A_{n-1}$的元素才是唯一的。这部分补充是否必要？我的理解有没有遗漏的关键点？

2. 能否对环序列$(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z/6\mathbb Z,\mathbb Z/30\mathbb Z,...,\mathbb Z/p#\mathbb Z,...)$做类似的反向极限构造？ #

我尝试先定义第一个相容映射$\varphi : \mathbb Z/6\mathbb Z\to \mathbb Z/2\mathbb Z$：
$$0\mapsto 0,\ 1\mapsto 1,\ 2\mapsto 0,\ 3\mapsto 1,\ 4\mapsto 0,\ 5\mapsto 1$$
如果我们能像构造3-adic数那样，给这个环序列的每一对相邻环都定义相容的满同态，再取反向极限，那得到的“数”会是什么结构？有没有已知的名称或者性质？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stéphane Jaouen