关于第二可数正规空间中可数分离映射族的构造疑问
设$X$是第二可数的正规空间（这里的正规空间不一定是$T_4$空间）。证明存在可数连续映射族${f_n:X\to[0,1]}$，使得对任意$x\in X$和不含$x$的闭子集$A$，存在某个$f_k$满足$f_k(x)=0$且$f_k(A)={1}$。
我的思路是：如果能找到$x$的一个与$A$不交的闭邻域，那么就可以通过可数基里的开对$(U,V)$来构造分离映射——对每一对满足$\overline{U}\cap\overline{V}=\emptyset$的开集$U,V$（来自可数基），选一个连续映射分离它们的闭包，这样因为基可数，映射族也可数。但现在的问题是，怎么找到那个与$A$不交的$x$的闭邻域呢？
你这个思路方向完全没问题，关键就是怎么把那个闭邻域找出来，其实可以结合第二可数空间的Lindelöf性质和正规空间的定义来推导：
首先，已知$A$是闭集且$x\notin A$，那么$X\setminus A$是包含$x$的开集。因为$X$是第二可数空间，它必然是Lindelöf空间（任何开覆盖都有可数子覆盖），不过这里我们其实用不到覆盖，直接用基的性质就行：
- 从$X$的可数基$\mathcal{B}$里，找一个包含$x$的基元素$B_i$，使得$B_i\subset X\setminus A$（这是基的定义，开集都能表示为基元素的并，所以$x$肯定在某个这样的$B_i$里）。
- 此时$\overline{B_i}$和$A$是一对不交的闭集（因为$B_i$与$A$不交，$\overline{B_i}$是闭集，$A$也是闭集）。根据正规空间的定义，存在不交的开集$U\supset\overline{B_i}$和$V\supset A$。
- 注意$U$是包含$x$的开集，而$X\setminus V$是闭集（因为$V$是开集），且$U\subset X\setminus V$，所以$\overline{U}\subset X\setminus V$。又因为$A\subset V$，所以$\overline{U}\cap A=\emptyset$——这不就是你要找的$x$的闭邻域吗？
找到了这个闭邻域之后，你的构造思路就可以顺利推进了：
我们遍历可数基里所有满足$\overline{B_m}\cap\overline{B_n}=\emptyset$的开集对$(B_m,B_n)$，对每一对用Urysohn引理取一个连续映射$f_{m,n}:X\to[0,1]$，使得$f_{m,n}(\overline{B_m})={0}$，$f_{m,n}(\overline{B_n})={1}$。因为基是可数的，这样的映射族${f_{m,n}}$显然也是可数的。
最后验证这个族满足要求：对任意$x\notin A$（$A$闭），我们刚才找到了$B_i\ni x$且$\overline{B_i}\cap A=\emptyset$，而$X\setminus\overline{B_i}$是包含$A$的开集，所以能找到基元素$B_j\subset X\setminus\overline{B_i}$（同样是基的定义），此时$\overline{B_i}\cap\overline{B_j}=\emptyset$，对应的$f_{i,j}$就满足$f_{i,j}(x)=0$（因为$x\in B_i\subset\overline{B_i}$），且$f_{i,j}(A)={1}$（因为$A\subset B_j\subset\overline{B_j}$）。
这样就完成了整个构造~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paprika7191
