如何利用含未知参数的独立正态变量构造标准正态分布？

嘿，这个问题挺有意思的！咱们先梳理一下你已经做的工作：你通过变量相减消去了未知的μ，得到了5个独立的$N(0,2\sigma^2)$变量$Y_1$到$Y_5$，这一步完全没问题。现在卡壳在怎么消去σ同时让结果服从标准正态分布对吧？

这里我要给你泼个小冷水：其实不存在这样的已知函数$f$，没法用这10个i.i.d的$N(\mu,\sigma)$变量构造出严格服从$N(0,1)$的随机变量，核心原因有两点：

1. 线性组合走不通
   正态变量的线性组合还是正态，但要让线性组合的方差为1，系数的平方和得等于$1/\sigma^2$——可σ是未知的，咱们没法把系数设成依赖σ的形式（题目要求函数$f$不含μ和σ）。同时线性组合要均值为0，系数和还得是0，这两个条件没法同时用常数系数满足。

2. 非线性函数得不到正态分布
   如果你尝试非线性函数，比如你试的$Z=\frac{Y_3}{\sqrt{Y_1^2+Y_22}}$，这个本质是柯西分布的变形；而用$Y_1$除以其他$Y_j$平方和的平方根，得到的是t分布，都不是标准正态。更关键的是，任何不含μ和σ的函数，要么是平移不变的（只依赖变量间的差），要么是齐次的（缩放变量时函数值按比例变化），这类函数的分布形状都不可能匹配标准正态——正态分布的形状依赖σ，但咱们的函数不能依赖σ，自然没法对齐这个形状。

不过如果你能接受近似的标准正态，倒是可以用经验分布函数的逆变换：比如把$Y_1$在$Y_1$到$Y_5$中的秩转化为概率值，再用标准正态分布的分位数函数映射，这能得到近似的$N(0,1)$变量，但不是严格的。

总结一下：严格来说，不存在满足要求的已知函数$f$；如果题目允许近似，逆经验分布变换是个可行的方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者QiFeng233