关于Hall《数学家的量子理论》第4章习题1(b)中逆傅里叶变换定义函数的局部可积性证明求助

我正在做Brian C. Hall书中第4章习题1的(b)部分，题目内容如下：

Exercise 1：
一个局部可积函数$\psi(x,t)$在弱（或分布）意义下满足自由薛定谔方程，当且仅当对每个光滑紧支函数$\chi$，有
$$
\int_{\mathbb{R}^2}\ \psi(x,t)\left[\frac{\partial\chi}{\partial t}+\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\chi}{\partial x^2}\right]dxdt=0.
$$
(b) 对任意$\psi_0\in L^2(\mathbb{R})$，按定义4.4定义$\psi(x,t)$，证明$\psi$在弱意义下满足自由薛定谔方程。

Definition 4.4：对任意$\psi_0\in L^{2(\mathbb{R})$，对每个$t\in\mathbb{R}$，定义$\psi(x,t)$为$L}2(\mathbb{R})$中唯一满足如下关于$x$的傅里叶变换的元素：
$$
\hat{\psi}(k,t)=\hat{\psi}_0(k)\exp\left[-i\frac{\hbar k^2t}{2m}\right].
$$

提示：首先证明对每个$A$，由下式定义的函数$\psi_A$满足自由薛定谔方程（其中$\omega(k)=\hbar k^2/2m$）：
$$
\psi_A(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^{A\hat{\psi}_0(k)e}{i(kx-\omega(k)t)}\ dk
$$

我的问题 #

我已经解决了(a)部分，并且用它得到了提示里的结论。但我完全搞不懂怎么证明任意$\psi_0\in L^{2(\mathbb{R})$按上述定义得到的$\psi$是$\mathbb{R}}2$上的局部可积函数。

我最初想解决(b)部分的思路是用控制收敛定理把$A\rightarrow\infty$的极限带到$t$的积分里，但找不到有用的控制函数——问题在于我似乎没法控制$\psi$或者它关于$x$的局部范数随$t$的变化情况。

然后我尝试对$\psi_A$用Jensen不等式，但用$||\hat{\psi}_0||_2$去界每个$\psi_A$时会留下一个$\sqrt{A}$的因子，所以没用。

我也试过用傅里叶变换的恒等式，但还是绕回$\psi_A$这个函数，没什么进展。

难道我应该直接假设$\psi$是局部可积的吗？这似乎不对，因为Hall明确说过：

$\psi(x,t)$，按定义4.4定义，总是在弱（分布）意义下满足薛定谔方程。

有人能帮帮我吗？我快被这个问题搞疯了，感觉要么是我漏了什么很明显的东西，要么是我其实不需要去证明$\psi$的局部可积性。一旦我能证明或者利用局部可积性，用提示就能轻松解决问题，但现在这一步卡住了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Derek H.