关于层的张量积截面诱导映射的疑问

嘿，这个问题问到点子上了，我来一步步给你掰扯清楚～

首先得先明确几个基础概念：这里的 $E \boxtimes F$ 其实是外张量积（盒积），它的定义是投影拉回的张量积：$\pi_X^* E \otimes \pi_Y^* F$，其中 $\pi_X: X \times Y \to X$ 和 $\pi_Y: X \times Y \to Y$ 是两个乘积空间到各自因子的投影映射。

现在我们有一个全局截面 $s \in H^0(X \times Y, E \boxtimes F)$，要构造从 $H^0(X,E)\vee$（$E$ 的全局截面的对偶空间，也就是所有从 $H^0(X,E)$ 到基域 $k$ 的线性泛函）到 $H^0(Y,F)$ 的映射，核心思路是固定Y中的点，把截面s“限制”到$X \times {y}$上，再用线性泛函提取F的分量：

• 第一步，固定任意 $y \in Y$，把s限制到子空间 $X \times {y}$ 上，得到 $s|_{X \times {y}} \in H^0(X, E \otimes F_y)$。这里因为 $\pi_Y^* F$ 在 $X \times {y}$ 上的限制就是 $F_y$（常数层，茎是F在y处的纤维），而E是局部自由凝聚层，所以 $H^0(X, E \otimes F_y)$ 可以自然等同于 $H^0(X,E) \otimes F_y$——简单说就是，每个X上的$E \otimes F_y$截面，都能看成“E的截面”和“$F_y$中元素”的张量组合。
• 第二步，取一个线性泛函 $\phi \in H^0(X,E)\vee$，我们可以把它和$F_y$上的恒等映射结合，得到一个线性映射 $\phi \otimes \text{id}{F_y}: H^0(X,E) \otimes F_y \to F_y$。把这个映射作用在 $s|{X \times {y}}$ 上，就能得到 $F_y$ 中的一个元素，我们把它记作 $f_\phi(y)$。
• 第三步，当y在Y中变化时，这些 $f_\phi(y)$ 就构成了F的一个全局截面：因为s是全局连续的（满足层的截面粘合条件），而φ是线性泛函，所以$f_\phi$在Y的任意开集上的限制都能满足层的截面要求，完全符合F的全局截面定义。

最后，这个对应关系 $\phi \mapsto f_\phi$ 就是我们要找的线性映射 $H^0(X,E)\vee \to H^0(Y,F)$——它的线性性也很容易验证：如果 $\phi_1, \phi_2$ 是两个线性泛函，$a,b$ 是基域中的标量，那么 $f_{a\phi_1 + b\phi_2} = a f_{\phi_1} + b f_{\phi_2}$。

换个更范畴化的视角看，这个构造其实是利用了张量积的伴随性：外张量积的全局截面可以自然对应到“从E的对偶到F的函子”，而这里的映射就是这个伴随关系的具体体现。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Slim Shady