2ⁿ×2ⁿ复矩阵自反对合矩阵空间的可能维度及相关问题问询

我正在研究$2^n\times 2^{n$的复矩阵，以及满足$A}{**}=A$、$(AB)^*=B* A^*$的一般反对合运算。据我了解，所有反对合运算都是转置、域对合（复共轭）和相似变换的组合，这个结论是否正确？

我想知道，在将复数视为2维实向量空间的前提下，所有满足$A=A^*$的自反对合矩阵构成的空间，可能的维度有哪些？

举几个具体例子：

• 针对$4\times 4$矩阵，如果反对合取厄米共轭，那么该空间有16个独立自由度（对角线上4个实数，对角线以上6个复数），称其为16维向量空间是准确的吗？
• 如果反对合取转置，那么该空间是20维的（对角线上4个复数，对角线以上6个复数）。
• 但如果反对合定义为$A^*=RATR^{-1}$，其中$R=\begin{pmatrix}0&1&0& 0\-1&0&0&0\0&0&0&-1\0&0&1&0\end{pmatrix}$，那么满足$A=A^*$的矩阵构成的空间只有12维，这个结论是否正确？

这是不是自反对合矩阵空间能达到的最小维度？还有哪些可能的维度值？

我猜想，一般情况下，对于$2^n\times 2^{n$矩阵，总能找到反对合运算，使得自反对合矩阵空间的维度为$d=2}n(2^n+(-1){\lfloor n/2\rfloor})$。我的核心动机是想弄清楚这些特定的反对合运算是否具有某种特殊性——或许需要排除使用复共轭（域对合）的情况？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gere