集合内部相等性的证明求助

嘿，我来帮你把这个证明捋得明明白白的！集合相等的证明咱们最常用的就是双向包含的思路，既严谨又不会绕晕，完全解决你觉得证明不优雅、可能不正确的问题。

首先先明确我们要证的结论：设$M \subset X$，证明
$$\overset{\circ}{M} = \bigcup_{\substack{B\subset M \ B \text{ open}}} B$$

先回忆两个关键定义 #

• 集合$M$的内部$\overset{\circ}{M}$：所有$M$的内点的集合，$x \in \overset{\circ}{M}$当且仅当存在$x$的开邻域$U$，使得$U \subset M$。
• 右边的并集：所有包含在$M$中的开子集的全体的并。

第一步：证明 $\boldsymbol{\overset{\circ}{M} \subseteq \bigcup_{\substack{B\subset M \ B \text{ open}}} B}$ #

任取$x \in \overset{\circ}{M}$，根据内点的定义，一定存在一个开集$U$（比如你提到的开球$B_\epsilon(x)$），满足$x \in U$且$U \subset M$。

这个$U$显然是右边并集里的一个成员（它是包含在$M$中的开集），所以$x \in U \subseteq \bigcup_{\substack{B\subset M \ B \text{ open}}} B$。

这就说明$\overset{\circ}{M}$里的每一个元素都在右边的并集中。

第二步：证明 $\boldsymbol{\bigcup_{\substack{B\subset M \ B \text{ open}}} B \subseteq \overset{\circ}{M}}$ #

任取$x \in \bigcup_{\substack{B\subset M \ B \text{ open}}} B$，根据并集的定义，存在某个开集$B \subset M$，使得$x \in B$。

此时，$B$就是$x$的一个开邻域，而且完全包含在$M$里，这正好满足内点的定义——所以$x$是$M$的内点，也就是$x \in \overset{\circ}{M}$。

这就说明右边并集中的每一个元素都在$\overset{\circ}{M}$里。

总结 #

既然$\overset{\circ}{M}$和右边的并集互相包含，根据集合相等的定义，它们必然相等。这样的证明是不是逻辑清晰又优雅？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1194661