关于非恒定函数二重积分等式合理性的技术咨询

嘿，你的疑问特别靠谱——毕竟不是随便什么函数都能直接靠区域面积比例来推导积分关系的，咱们一步步拆解清楚：

先明确问题与疑惑点 #

计算积分：
$$\int_{0}^{c} \int_{x}^{c} e^{x2+y^2}dydx$$
已知 $\int_{0}^{c}e{s^2}ds = 3$，其中c为正常数。

参考解法给出了这样的等式：
$$\int_{0}^{c} \int_{x}^{c} e^{x2+y^2}dydx = \frac{1}{2} \int_{0}^{c} \int_{0}^{c} e^{x2+y^2}dydx$$
这里需要纠正一下表述：左侧积分的区域是正方形$[0,c]\times[0,c]$中$y\geq x$的上三角区域，右侧才是整个正方形区域，面积是左侧的两倍。

你的核心疑问：能看出区域面积是两倍关系，但不确定非恒定函数下，这个积分等式是否依然成立？

关键原因：被积函数的对称性 #

这个等式能成立，根本不是单纯靠面积比例，而是因为被积函数$f(x,y)=e^{x2+y^2}$具备关于直线$y=x$的对称性——也就是$f(x,y)=f(y,x)$，把x和y交换位置，函数值完全不变。

我们把正方形区域$D=[0,c]\times[0,c]$拆成两个互不重叠的三角区域：

• $D_1$：$0\leq x\leq c$，$x\leq y\leq c$（就是左侧积分的区域）
• $D_2$：$0\leq x\leq c$，$0\leq y\leq x$（正方形中$y\leq x$的下三角区域）

对于$D_2$的积分，我们做变量替换$u=y$，$v=x$，这个替换的雅可比行列式绝对值为1，积分区域会变成$D_1$，同时被积函数变成$f(u,v)=f(y,x)=f(x,y)$，所以：
$$\iint_{D_2} e^{x2+y^2}dxdy = \iint_{D_1} e^{u2+v^2}dudv = \iint_{D_1} e^{x2+y^2}dxdy$$

也就是说，两个三角区域的积分值完全相等！那整个正方形的积分就是两个三角区域积分的和：
$$\iint_{D} e^{x2+y^2}dxdy = \iint_{D_1} e^{x2+y^2}dxdy + \iint_{D_2} e^{x2+y^2}dxdy = 2\iint_{D_1} e^{x2+y^2}dxdy$$

反过来就得到了参考解法里的等式，这和函数是否恒定无关，只要函数关于$y=x$对称，这个关系就成立。如果换一个没有这种对称性的函数（比如$f(x,y)=x+y$），那这个等式就不成立了。

结合已知条件计算最终结果 #

因为被积函数可以拆成分离变量的形式：$e^{x2+y^2}=e{x^2}\cdot e^{y2}$，所以正方形区域的积分可以拆成两个单积分的乘积：
$$\int_{0}^{c}\int_{0}{c}e^{x2+y^2}dxdy = \left(\int_{0}^{c}e{x^2}dx\right) \times \left(\int_{0}^{c}e{y^2}dy\right)$$

已知$\int_{0}^{c}e{s^2}ds=3$，代入后得到：
$$\int_{0}^{c}\int_{0}{c}e^{x2+y^2}dxdy = 3\times3=9$$

所以原积分的结果就是：
$$\int_{0}^{c} \int_{x}^{c} e^{x2+y^2}dydx = \frac{1}{2}\times9=\frac{9}{2}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ark