关于单位圆盘全纯函数族导数模下确界m_c的分段性质证明问题

问题背景与待证结论 #

我现在遇到一个复分析的问题，定义单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的全纯函数族：
$$\mathcal{F}c = { f: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \text{ 全纯 } \mid f(0)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=c }$$
其中参数 $c \in [0, \frac{1}{2})$。记这个族中函数在原点处导数模的下确界为 $m_c = \inf{f \in \mathcal{F}_c } |f'(0)|$，需要证明：
$$
\begin{align}
m_c=0& \quad \text{当 } c \leq \frac{1}{4} \
m_c>0& \quad \text{当 } c > \frac{1}{4} \
\end{align}
$$

我的进展与卡住的地方 #

我已经搞定了第一部分的证明：当 $c \leq \frac{1}{4}$ 时，构造函数 $f(z)=4cz^2$，它满足 $f(0)=0$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=4c\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=c$，而且因为 $|f(z)|=4c|z|^2 \leq 4\cdot\frac{1}{4}|z|^2=|z|2 < 1$（毕竟 $z\in\mathbb{D}$），所以这个函数属于 $\mathcal{F}_c$。此时 $|f'(0)|=0$，结合导数模非负的性质，直接得到 $m_c=0$。

但第二部分（证明 $c > \frac{1}{4}$ 时 $m_c>0$）我卡壳了，试了两种思路都没走通：

思路一：积分展开结合柯西估计 #

我先把 $c$ 写成双重积分的形式：
$$
c = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)
= \int_{[0,\frac{1}{2}]} f'(z) dz
= \int_{[0,\frac{1}{2}]} \left( \int_{[0,z]}f''(w)dw + f'(0) \right) dz
= \int_{[0,\frac{1}{2}]} \int_{[0,z]}f''(w)dwdz + \frac{1}{2}f'(0)
$$
接下来想用柯西公式估计 $|f''(w)|$：取以 $w$ 为中心、半径 $r < 1 - |w|$ 的圆周 $\gamma_r$，则
$$
|f''(w)| = \left| \frac{2!}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(s)}{(s-w)^3} ds \right|
\leq \frac{2}{2\pi} \int_{\gamma_r} \frac{|f(s)|}{|s-w|^3} |ds|
\leq \frac{2}{2\pi r^2} \int_0^{2\pi} |w+re^{it}|dt
$$
这里我用了施瓦茨引理 $|f(s)| \leq |s|$，也考虑过直接用 $|f| < 1$ 来放缩，但不管哪种方式，得到的界都太松了，没法继续推导得到 $|f'(0)|$ 的正下界。

思路二：利用边界的导数估计 #

后来我换了个方向，考虑以原点为中心、半径趋近于1的圆周，得到 $|f''(w)| \leq \frac{2}{(1-|w|)^3}$，然后估计那个二重积分的模：
$$
\left|\int_{[0,\frac{1}{2}]} \int_{[0,z]}f''(w)dwdz \right| \leq \frac{1}{2}
$$
把这个代入之前的积分式，得到：
$$
c \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2}|f'(0)|
$$
但这个不等式实在太宽松了，完全达不到我们需要的效果——我们得得到类似 $\left|\int_{[0,\frac{1}{2}]} \int_{[0,z]}f''(w)dwdz \right| \leq \frac{1}{4}$ 这样的紧界，才能推出 $|f'(0)|$ 有正的下界。

现在实在不知道该怎么推进了，有没有大佬能给点提示或者思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ploosu2