数列求和问题求解：计算$a_1+2a_2+\cdots+44a_{44}$的值

安全阿岳

2026-4-20

嘿，你直接代入每一项计算的思路是可行的，但44项算起来确实有点繁琐，我们可以通过配对求和+分式变形的技巧来快速求解，效率会高很多！

关键观察：分母的对称性

先看$a_n$的分母：$n^2 -45n +675$，当我们把$n$替换成$45-n$时，分母的值完全不变：
$$(45-n)^2 -45(45-n)+675 = n^2 -90n +2025 -2025 +45n +675 = n^2 -45n +675$$
这意味着$a_{45-n} = \frac{(45-n)^2}{n2 -45n +675}$，和$a_n$的分母相同。我们可以把$k a_k$和$(45-k)a_{45-k}$配对（$k$从1到22），这样44项刚好分成22组。

计算每组的和

对于任意$k$，计算$k a_k + (45-k)a_{45-k}$：
$$
\begin{align*}
k a_k + (45-k)a_{45-k} &= \frac{k^3}{D} + \frac{(45-k)^3}{D} \quad \text{（其中} D = n^2 -45n +675\text{）} \
&= \frac{k^3 + (45-k)^3}{D}
\end{align*}
$$
利用立方和公式$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2)$，这里$x=k$，$y=45-k$，则$x+y=45$，展开分子：
$$
\begin{align*}
k^3 + (45-k)^3 &= 45\left[k^2 -k(45-k) + (45-k)^2\right] \
&= 45\left[k^2 -45k +k^2 + 2025 -90k +k^2\right] \
&= 45\left[3k^2 -135k +2025\right] \
&= 45\times3(k^2 -45k +675) \
&= 135D
\end{align*}
$$
所以每组的和为$\frac{135D}{D}=135$。