水平圆柱形水箱抽水做功的水平积分法困惑求解

我最近在解决水平放置圆柱形水箱抽水做功的问题，水箱半径为$r$，长度为$l$，出水口在水箱右上侧。目前我用垂直积分法做出来了结果，但尝试水平积分的时候遇到了困惑，想请大家帮忙分析下问题出在哪。

先说说我已经搞定的垂直积分思路：

• 我把水箱沿着竖直方向（y轴，取值从$-r$到$r$）切出水平薄片，每个薄片是矩形，长度为$l$，宽度为$2x$。用勾股定理能算出$x=\sqrt{r^2-y2}$。
• 体积通过积分这些薄片的体积得到：$V = \int_{-r}^{{r}2l(\sqrt{r}2-y^2})dy$。我还代入$l=5$、$r=2$验证过，积分结果和圆柱体积公式$\pi r^2 l$算出的62.83一致，这部分没问题。

接下来算抽水做功：

• 薄片的质量是体积乘以水的密度，也就是$m = 2000l\sqrt{r^2-y2}\Delta y$。
• 重力$F = 9.8 \times m = 19600l\sqrt{r^2-y2} \Delta y$。
• 每个薄片的水需要移动的距离是$r - y$（因为出水口在顶部$y=r$的位置，$y$是薄片的竖直坐标，距离就是顶部到薄片的高度差）。
• 所以做功的积分就是$W = 19600l\int_{-r}^{r}\sqrt{r2-y^2}(r-y)dy$，算出来结果是$W = 9800\pi lr^3$，这个结果应该是对的。

现在问题来了，我尝试用水平积分法（沿着水箱长度$l$的方向切片）的时候，怎么算都不对：

• 我以为每个切片是垂直于水箱轴线的薄圆盘，体积是$V = \pi r^2 \Delta l$，质量就是$1000\pi r^2 \Delta l$，重力$F = 9800 \pi r^2 \Delta l$。
• 然后我直接对长度积分做功：$9800 \pi r^2 \int_0^l dl = 9800\pi r^2 l$。
• 但这个结果比垂直积分的结果少了一个$r$！我实在想不通这个额外的$r$是从哪来的，水平积分的时候是不是哪里考虑漏了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rudytheduck