有限域上线性子空间的特征和等式证明求助

我现在想证明一个关于有限域上线性子空间的特征和等式，具体问题如下：

设$q = p^e$（$p$为素数），考虑迹函数$\mathrm{Tr}_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}:\mathbb{F}_q\to \mathbb{F}p$，其定义为$\mathrm{Tr}{\mathbb{F}q/\mathbb{F}p}(x) = \sum{i=0}^{e-1}x{p^i}$。令$C \subseteq \mathbb{F}q^n$是一个线性子空间，$\zeta = e^{2\pi i/p}$，我需要证明的等式是：
$$\sum{c \in C}\zeta^{\mathrm{Tr}{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}(\langle c, z\rangle)} = \begin{cases}|C|&\text{若 }z\in C^\perp\0 &\text{否则}\end{cases}.$$

我已经掌握了一些相关结论：

• 迹函数是满射的，$\mathbb{F}_p$中的每个元素都被$\mathbb{F}_q$里恰好$p^{e-1}$个元素映射到；
• 当$z \in C^\perp$时，对所有$c\in C$都有$\langle c, z\rangle = 0$，这时候等式的第一种情况很容易推导，结果就是$|C|$；
• 我还知道$\sum_{i=0}^{p-1}\zetai = \frac{\zeta^p - 1}{\zeta - 1} = 0$，所以我的思路是：当$z\notin C^\perp$时，证明$\zeta$的每个幂次出现的次数都相同，也就是对于每个$i = 0, 1, \ldots, p-1$，满足$\mathrm{Tr}_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}(\langle c, z\rangle) = i$的$c\in C$的个数都是同一个数$t$，这样求和的结果自然就是0。

另外，我已经搞懂了$e = 1$且$p = 2$的特殊情况：此时求和式变为$\sum_{c\in C}(-1)^{c\cdot z}$，因为$z \not \in C^\perp$，所以存在某个$c_0 \in C$使得$c_0 \cdot z = 1$，接着可以这样推导：
$$-\sum_{c\in C}(-1)^{c\cdot z} = (-1)^{c_0\cdot z}\sum_{c\in C}(-1)^{c\cdot z} = \sum_{c \in C}(-1)^{(c+c_0)\cdot z} = \sum_{c'\in C}(-1)^{c'\cdot z}$$
由此就能得出求和结果为0。

现在想请教大家如何把这个思路推广到一般情况，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PTrivedi