直积环A×B上的模分解为直和的证明疑问

我最近在做环论相关的习题时遇到了一个问题，想请教一下大家：

设$A$和$B$是两个环，$L$是一个$A\times B$-模，证明$L$可以表示为$M\oplus N$的形式，其中$M$是$A$-模，$N$是$B$-模，并且模作用满足$(a,b)\cdot(m,n)=(am,bn)$。

我自己尝试了一部分推导，思路是这样的：

• 先定义两个子集：
  • $M := { (a_1,0)l_1 + \cdots + (a_n,0)l_n \mid n \in \mathbb N, a_i \in A, \text{ 且对所有 } 1 \leq i \leq n, l_i \in L }$
  • $N := { (0, b_1)r_1 + \cdots + (0, b_m)r_m \mid m \in \mathbb N, b_j \in B, \text{ 且对所有 } 1 \leq j \leq m, r_j \in L }$
• 接着验证了$M$和$N$的模结构：如果定义$a \cdot m := (a,0)m$，那么$M$是一个$A$-模；定义$b \cdot n := (0,b)n$，$N$就是一个$B$-模。
• 另外我也看出来$L = M + N$，因为对任意$l \in L$，都有$l = (1,1)l = (1,0)l + (0,1)l$，显然$(1,0)l \in M$，$(0,1)l \in N$。

不过现在我卡在了最后一步：我没法确定$M$和$N$的交集是不是只有零元，也就是没办法确认$L = M + N$是不是直和。有没有朋友能帮我解决这个疑问呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Squirrel-Power