非仿射非常数三元调和函数的Hessian矩阵是否可能仅有零特征值？

我之前有过相关讨论，现在直觉上认为：如果我们限定函数$f(x,y,z)$是调和函数（也就是满足$\nabla^2f=0$），而且它既不是形如$ax+by+cz+d$（其中$a,b,c,d\in\mathbb{R}$）的仿射函数，也不是常数函数，那么这个3×3的Hessian矩阵：

$$
H(x,y,z)=
\begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} & f_{xz}\
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz}\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz}\
\end{bmatrix},
$$

的三个特征值不可能全为零。当然我目前还没有找到证明方法，有没有人能给出反例呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Solidification