关于证明当r→1⁻时|f(r)|→∞及相关归纳法证明的思路疑问

我目前正在尝试完成两个相关的数学证明：

1. 首先要证明：当$r\rightarrow 1^-$时，$|f(r)|\rightarrow\infty$，这里的函数定义为$f(z) = \sum_{n\geq 0}z^{2n}$。
2. 接着需要用归纳法证明：如果存在某个自然数$m$，使得$e^{i\theta 2^m} = 1$，那么当$r\rightarrow 1^{-$时，$|f(re}{i\theta})|\rightarrow\infty$。

对于第二个归纳法的证明，我有个初步思路：我感觉$m=0$的基础情况可能不太好处理，但如果假设对于$m$的情况结论成立，那么推导$m+1$的情况应该会比较简单，因为可以把式子化简回第一个问题的形式：
$$re^{i2{m+1}\theta} = re^{i2m\theta \cdot 2} = r(e^{i2m\theta})^2 = r \cdot 1^2 = r$$

不过我不确定这个推导是不是正确的？有没有哪里考虑不周的地方？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Samuel Fournier