关于σ-代数、拓扑空间与ℝ²中开闭集的技术问题

待解答问题 #

• 问题1：$\mathbb{R}^{2$中所有开集与闭集构成的集合，是不是$\mathbb{R}}2$上的$\sigma$-代数？
• 问题2：$\mathbb{R}^{2$中所有闭集构成的集合，是不是$\mathbb{R}}2$上的拓扑？

我的分析结论 #

我觉得这两个问题的答案都是否，咱们从它们的定义要求来具体拆解：

对于问题1：$\sigma$-代数的关键要求之一是对可数并运算封闭。举个简单的例子：取$\mathbb{R}^2$里可数个单点集（单点集都是闭集，属于咱们讨论的这个集合），它们的可数并是一个可数无限集，这个集合既不是开集也不是闭集，显然不在“所有开集与闭集的集合”里——这就违反了$\sigma$-代数的可数并封闭性，所以这个集合肯定不是$\sigma$-代数。

对于问题2：拓扑的核心要求之一是对任意并运算封闭。比如取$\mathbb{R}^2$中的闭集序列${[-1 + 1/n, 1 - 1/n] \times [-1 + 1/n, 1 - 1/n]}$（n从1到∞），把这些闭集全部并起来，得到的是开集$(-1,1) \times (-1,1)$，这个结果不属于“所有闭集的集合”，说明这个集合不满足拓扑的任意并封闭性，因此不可能是$\mathbb{R}^2$上的拓扑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者worstbird