几何代数中向量与标量的点积、楔积及相关多向量乘积恒等式的疑问

大家好，我最近在看Alan Mcdonald的几何微积分系列教程，第一集里他给出了这样一个恒等式：对于任意向量$\boldsymbol{u}$和多向量$M$，有

$\boldsymbol{u}M = \boldsymbol{u} \cdot M + \boldsymbol{u} \land M$

不过我发现这个式子好像没考虑$M$的0阶分量——也就是它的标量部分$s$的情况。

按照这个恒等式要成立的逻辑，要么$\boldsymbol{u} \cdot s = 0$，要么$\boldsymbol{u} \land s = 0$才行。而且我之前在一些资料里看到过$\boldsymbol{u} \land s = \boldsymbol{u}s$的说法，这就意味着$\boldsymbol{u} \cdot s = 0$，从直觉上来说好像有点道理，但我还是不太确定这个推导是不是正确的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Minimo