n边形内无公共边的三角形数量计算疑问

我最近在解决一个几何计数问题：给定一个边数n>2的多边形，连接它的顶点能构成多少个完全不使用多边形自身边的三角形？

我最开始的思路是用「所有可能的三角形总数」减去「至少有一条边是多边形边的三角形数量」，当时列出来的公式是：
$$
\binom{n}{3}-n\cdot2\cdot(n-2)
$$
但当我把n=6代入这个公式时，结果和实际正确数量对不上——我本来预期得到2，可这个公式算出来的不是。

于是我换了个思路，把需要减去的三角形拆成两类来算：一类是有两条边都是多边形边的三角形，另一类是只有一条边是多边形边的三角形。当时列的公式是：
$$
\binom{n}{3}-n-\frac{2n(n-4)}{3!}
$$
但这个公式代入n=6还是不对，不过当我把分母的3!改成2!之后，不管是n=5还是n=6，结果都和预期一致了，而且这个修正后的结果也和参考答案里的结果一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SpectralTheoryFan