无计算器快速求解定积分$\int_{8}^{27}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}$并选择正确选项

嘿，我来带你快速搞定这个定积分，不用计算器也能选出正确答案！

题目回顾 #

计算定积分$\int_{8}^{27}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}$，并从以下选项中选出正确答案：
(A) $1$
(B) $6\log\bigg(\sqrt{\frac{3}{2}}\bigg)$
(C) $6\log\bigg(\sqrt{\frac{3}{2}}\bigg)-10\sqrt{2}+12\sqrt{3}$
(D) $6\log\bigg({\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}-1}}\bigg)$
(E) $3-10\sqrt{2}+12\sqrt{3}+6\log\bigg({\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}-1}}\bigg)$

快速求解步骤 #

首先观察被积函数里的根式：$\sqrt{x}=x^{{1/2}$和$\sqrt[3]{x}=x}{1/3}$，它们指数的最小公倍数是6，所以换元法是最优选择：

• 令$u=x^{{1/6}$，则$x=u}6$，微分$\mathrm{d}x=6u^5\mathrm{d}u$
• 替换根式：$\sqrt{x}=(u⁶⁾{1/2}=u^{3$，$\sqrt[3]{x}=(u}6)^{1/3}=u2$
• 更换积分上下限：
  • 当$x=8$时，$u=8^{1/6}=(23)^{1/6}=2{1/2}=\sqrt{2}$
  • 当$x=27$时，$u=27^{1/6}=(33)^{1/6}=3{1/2}=\sqrt{3}$

将原积分转换为关于$u$的积分：
$$\int_{\sqrt{2}}^{{\sqrt{3}}\frac{6u}5}{u^3 - u^2}\mathrm{d}u$$

化简被积函数

分子分母约去$u^2$（积分区间内$u>0$，无问题），得到：
$$6\int_{\sqrt{2}}^{{\sqrt{3}}\frac{u}3}{u - 1}\mathrm{d}u$$

对$\frac{u^{3}{u-1}$做拆分：$u}3=(u-1)(u^2+u+1)+1$，因此：
$$\frac{u^3}{u-1}=u2+u+1+\frac{1}{u-1}$$

拆分积分并计算

把积分拆成四个部分分别计算：
$$6\left[\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}u2\mathrm{d}u + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}u\mathrm{d}u + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}1\mathrm{d}u + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{u-1}\mathrm{d}u\right]$$

1. 幂函数积分：$\int u^{2\mathrm{d}u=\frac{1}{3}u}3$，代入上下限得$\frac{1}{3}[(\sqrt{3})^3 - (\sqrt{2})^3]=\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{2}$
2. 一次幂积分：$\int u\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2$，代入上下限得$\frac{1}{2}(3-2)=\frac{1}{2}$
3. 常数积分：$\int 1\mathrm{d}u=u$，代入上下限得$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
4. 对数积分：$\int \frac{1}{u-1}\mathrm{d}u=\ln|u-1|$，代入上下限得$\ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}-1}\right)$

合并结果

先把代数部分合并：
$$\left(\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{2}\right) + \frac{1}{2} + (\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}-\frac{5}{3}\sqrt{2}+\frac{1}{2}$$

再乘以6并加上对数项：
$$6\times\left(2\sqrt{3}-\frac{5}{3}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right) + 6\ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}-1}\right)=12\sqrt{3}-10\sqrt{2}+3+6\ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}-1}\right)$$

对比选项，这个结果和选项E完全一致！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hussain-Alqatari