关于齐次函数相关微分等式推导的错误排查请求

设$f(\boldsymbol{x}) = f(x_1, \ldots, x_n)$是$m$次齐次函数，即满足$f(t\boldsymbol{x}) = t^m f(\boldsymbol{x})$的$C^\infty$类函数。现在需要证明如下等式：
$$
\left(x_1 \dfrac{\partial}{\partial x_1} + \cdots + x_n \dfrac{\partial}{\partial x_n} \right)^r f = m(m-1) \cdots (m-r+1) f(\boldsymbol{x})
$$

我最开始是这么思考这个问题的：针对$r=1$的情况，我手写了一份推导过程，结果后来发现这个推导是完全错误的。可我到现在都没搞明白自己的推导到底错在哪里——其实我已经知道正确的证明方法了，就是想找出自己之前思路里的问题所在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Syobon1