关于群的中心Z(G)、中心化子C_G(A)与正规化子N_G(A)的子群关系的证明验证请求

嘿，我来帮你验证这个群论里的子群关系证明啦～先把你的问题和思路完整呈现出来：

我第一次读Dummit & Foote的抽象代数教材，书中提到对于群$G$和$G$的任意非空子集$A$，有$C_G(A) \le N_G(A)$。我好奇群的中心$Z(G)$和这两者之间的子群/子集关系，猜测是$Z(G) \le C_G(A) \le N_G(A)$，我的证明思路如下，能不能帮忙验证是否正确？

我先声明$Z(G) \subset N_G(A)$：
设$g \in Z(G)$，因为$A \subset G$，所以对任意$a \in A$，$a \in G$。根据中心的定义，$ga=ag$，进而$gag^{-1}=a$。因此，对于...

首先可以明确告诉你：你的猜测$Z(G) \le C_G(A) \le N_G(A)$是完全正确的，而且你的证明思路方向也没问题，我来帮你把完整的逻辑补全并验证：

1. 证明$Z(G) \le C_G(A)$ #

• 先看子集包含关系：任取$g \in Z(G)$，根据群中心的定义，$g$与$G$中的每一个元素都可交换。因为$A$是$G$的非空子集，所以$A$里的所有元素都是$G$的元素，自然$g$和$A$中的任意元素$a$都满足$ga=ag$——这正好符合中心化子$C_G(A)={g \in G \mid ga=ag, \forall a \in A}$的定义，所以$g \in C_G(A)$，即$Z(G) \subseteq C_G(A)$。
• 再确认子群关系：$Z(G)$本身是$G$的子群，$C_G(A)$也是$G$的子群，因此子集包含+子群的性质可以推出$Z(G) \le C_G(A)$。

2. 证明$C_G(A) \le N_G(A)$ #

这个结论教材已经提到，我们再快速梳理一遍逻辑：

• 正规化子的定义是$N_G(A)={g \in G \mid gAg^{-1}=A}$。任取$g \in C_G(A)$，对任意$a \in A$，都有$gag^{{-1}=a$（因为$ga=ag$，两边右乘$g}{-1}$就得到这个结果）。那么$gAg^{-1}={gag{-1} \mid a \in A}={a \mid a \in A}=A$，完全满足正规化子的条件，所以$g \in N_G(A)$，即$C_G(A) \subseteq N_G(A)$。
• 同样，两者都是$G$的子群，因此$C_G(A) \le N_G(A)$。

把这两个结论结合起来，就得到了你猜测的子群链：$Z(G) \le C_G(A) \le N_G(A)$。你的初始证明思路（从中心元素和所有元素交换出发推导）完全正确，只要把后续的逻辑补全就没问题啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者icyrla