关于递增集合序列的并集与集合差序列并集的等式疑问

我完全理解你的困惑——刚接触测度论里的集合操作时，很容易在这种细节上卡壳。先把问题再理清楚：

你在测度论笔记里看到这段内容：

如果${A_i: i ∈ \mathbb{N}}$是一个递增集合序列，且$B_i = A_{i+1}\setminus A_i$，那么${B_i : i ∈ \mathbb{N}}$是一个不相交序列，且它们的并集与原序列的并集相同(...)

作者想表达的是$\bigcup_{i=1}^{{\infty}A_{i}=\bigcup_{i=1}}{\infty}B_{i}$，但你觉得正确的等式应该是$\bigcup_{i=1}^{{\infty}A_{i}=\left(\bigcup_{i=1}}{\infty}B_{i}\right)\cup A_1$，对吧？

其实你这个推导是完全正确的！严格来说，如果我们默认$\mathbb{N}$是从1开始的正整数集合，那$\bigcup_{i=1}^\infty B_i$其实是$(A_2\setminus A_1) \cup (A_3\setminus A_2) \cup (A_4\setminus A_3) \cup ...$，这个并集只包含那些不在$A_1$里，但至少属于某个$A_k$（$k≥2$）的元素。而原序列的并集$\bigcup_{i=1}^\infty A_i$显然还包含$A_1$里的所有元素，所以确实需要加上$A_1$才相等。

那为什么作者会写相等呢？大概率是这两种情况之一：

• 作者把$\mathbb{N}$的起始点定义为0了：如果$i$从0开始，那$B_0 = A_1\setminus A_0$，通常会把$A_0$设为空集$\emptyset$，这样$B_0 = A_1$，此时$\bigcup_{i=0}^\infty B_i = A_1 \cup (A_2\setminus A_1) \cup ... = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$，等式就成立了。
• 作者笔误，或者省略了对$A_1$的处理：有些教材里会把递增序列的“初始差”直接算进$B_i$里，比如把$B_1$定义为$A_1$，后续的$B_i = A_i\setminus A_{i-1}$（$i≥2$），这样也能让并集相等。

简单说，就是作者在集合序列的下标定义上和你默认的不一样，导致了这个看似矛盾的结果。你的推导是严谨的，不用怀疑自己~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者UndefinedBehavior