含二项式系数的有限求和式求值方法咨询（任意非负整数m情形）

你好呀！针对你提出的这个有限求和问题，我整理了几种可行的思路和表达方式，希望能帮到你：

• 用超几何函数统一表达（任意m的情况）
  对于任意非负整数k、m，这个求和式可以用截断型高斯超几何函数来表示。借助二项式系数与超几何函数的关联，求和式可改写为：
  $$
  \sum_{\ell = 0}^{k} \gamma^\ell \binom{2k + m}{\ell} = \binom{2k+m}{k} \gamma^k {}_2F_1\left(1, -k - m; k+1; -\frac{1}{\gamma}\right) \quad (\gamma \neq 0)
  $$
  当γ=0时，求和式结果直接为1。这里的${}_2F_1$是高斯超几何函数，由于第二个参数$-(k+m)$是负整数，该函数会自动退化为有限项求和，完全匹配你的需求。
  另外，你之前用Mathematica没得到结果，大概率是没指定参数范围，试试输入带假设条件的命令：

  Sum[γ^ℓ*Binomial[2k+m, ℓ], {ℓ, 0, k}, Assumptions -> {k ∈ NonNegativeIntegers, m ∈ NonNegativeIntegers, γ ∈ Reals}]
  

  应该就能输出超几何函数形式的结果了。

• 递推关系法
  我们定义求和函数$S(k,m) = \sum_{\ell=0}^k \gamma^\ell \binom{2k+m}{\ell}$，利用二项式系数的核心递推性质$\binom{n+1}{\ell} = \binom{n}{\ell} + \binom{n}{\ell-1}$，可以推导出关于m的递推式：
  $$
  S(k,m+1) = S(k,m) + \gamma \cdot S(k,m-1)
  $$
  边界条件就是你已经掌握的m=0时的结果：$S(k,0) = {}_2F_1(-k, -2k; 1; -\gamma)$。从m=0的结果出发，你可以通过递推计算任意非负整数m对应的求和值，也能基于递推关系推导更简洁的组合表达式。

• 互补求和技巧
  我们知道完整的二项式展开是$\sum_{\ell=0}^{2k+m} \gamma^\ell \binom{2k+m}{\ell} = (1+\gamma)^{2k+m}$，因此你的求和式可以表示为完整展开减去后半段的求和：
  $$
  \sum_{\ell=0}^k \gamma^\ell \binom{2k+m}{\ell} = (1+\gamma)^{2k+m} - \gamma^{2k+m} \sum_{t=0}^{k+m-1} \binom{2k+m}{t} \left(\frac{1}{\gamma}\right)^t
  $$
  这个形式在γ的绝对值较大时，会更容易计算或做近似，后半段求和的结构和原求和式类似，只是参数略有调整。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User