求证由τ_Eucl∪𝒫(ℚ)生成拓扑的ℝ空间在无理点处的局部紧性

我来帮你理清这个思路，其实关键是先明确这个拓扑的核心特征，再利用欧氏区间的紧性来推导。

首先，先明确我们讨论的拓扑$\tau$的结构：它是包含欧氏拓扑$\tau_\text{Eucl}$和所有$\mathbb{Q}$的子集的最小拓扑。这个拓扑有两个非常关键的特点：

• 所有有理点都是孤立点：因为任何单点集${q}$（$q\in\mathbb{Q}$）都是$\mathcal{P}(\mathbb{Q})$中的元素，所以直接是$\tau$-开集；
• 对于无理点$x$，它的任何$\tau$-开邻域都必须包含一个欧氏开区间（因为$\tau$包含欧氏拓扑，而仅用$\mathbb{Q}$的子集无法构造出只含无理点$x$的开集——毕竟$\mathbb{Q}$的子集都是有理点的集合，和无理点不相交）。

接下来，我们要证明：对于任意无理点$x$，取$\epsilon>0$，欧氏闭区间$I=[x-\epsilon,x+\epsilon]$是$\tau$-紧的（这就说明$x$有紧邻域，满足局部紧的定义）。

我们用紧性的定义来证明：任取$I$的一个$\tau$-开覆盖${U_\alpha}$，我们要找到它的有限子覆盖。

步骤1：处理$I$中的有理点 #

$I\cap\mathbb{Q}$是可数集，记为${q_1,q_2,q_3,\dots}$。对于每个$q_n$，因为${U_\alpha}$覆盖$q_n$，所以存在某个$U_{\alpha_n}\in{U_\alpha}$使得$q_n\in U_{\alpha_n}$。把这些$U_{\alpha_n}$收集起来，记为集合$\mathcal{C}$。

步骤2：处理$I$中的无理点 #

对于$I$中的每个无理点$y$，因为$U_\alpha$是$\tau$-开集且包含$y$，所以必存在一个欧氏开区间$V_y\subseteq U_\alpha$包含$y$（这是刚才说的无理点邻域的核心特征）。这样，${V_y\mid y\in I\setminus\mathbb{Q}}$就是$I\setminus\mathbb{Q}$在欧氏拓扑下的一个开覆盖。

现在，$I$在欧氏拓扑下是紧的，我们构造$I$的欧氏开覆盖：${V_y\mid y\in I\setminus\mathbb{Q}}\cup{(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)\mid n\in\mathbb{N}}$，其中每个$\delta_n$选得足够小，使得$(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)\subseteq U_{\alpha_n}$（因为$U_{\alpha_n}$是$\tau$-开集，而$q_n$是孤立点，这肯定能做到）。

由于$I$是欧氏紧集，这个开覆盖必有有限子覆盖：假设是$V_{y_1},\dots,V_{y_k}$和$(q_{n_1}-\delta_{n_1},q_{n_1}+\delta_{n_1}),\dots,(q_{n_m}-\delta_{n_m},q_{n_m}+\delta_{n_m})$，它们的并覆盖$I$。

步骤3：得到$\tau$-开覆盖的有限子覆盖 #

对应到$\tau$-开集，就是$U_{\alpha_{y_1}},\dots,U_{\alpha_{y_k}}$（包含$V_{y_1},\dots,V_{y_k}$）和$U_{\alpha_{n_1}},\dots,U_{\alpha_{n_m}}$（包含对应的欧氏开区间）。这有限个$\tau$-开集显然覆盖$I$：

• 所有无理点都被某个$V_{y_i}\subseteq U_{\alpha_{y_i}}$覆盖；
• 所有有理点要么是$q_{n_1},\dots,q_{n_m}$中的一个，被$U_{\alpha_{n_j}}$覆盖；要么落在某个$V_{y_i}$里（欧氏开区间必然包含有理点），而$V_{y_i}\subseteq U_{\alpha_{y_i}}$，所以也被覆盖。

这样就证明了$I$是$\tau$-紧的，而$I$是无理点$x$的邻域（因为$x\in(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq I$，而$(x-\epsilon,x+\epsilon)$是$\tau$-开集），所以$x$处是局部紧的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bentley Edwards