证明乘积随机变量XY的绝对连续性并推导其概率密度函数

没问题，我们一步步来拆解这个问题：先证明独立绝对连续随机变量的乘积XY也是绝对连续的，再推导它的概率密度函数。

首先明确核心定义：一个随机变量Z是绝对连续的，当且仅当它的分布函数满足两个等价条件之一：要么存在非负可积的密度函数$f_Z$，使得分布函数$F_Z(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^z f_Z(t)dt$；要么对于任意勒贝格测度为0的集合A，都有$P(Z \in A) = 0$。

已知X和Y是独立的绝对连续随机变量，所以它们的联合概率密度函数是各自密度的乘积：$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$，其中$f_X$、$f_Y$分别是X、Y的密度函数。

第一步：计算XY的分布函数 #

我们从XY的分布函数入手，定义$F_{XY}(z) = P(XY \leq z)$。根据联合密度的性质，这个概率可以表示为二重积分：
$$
F_{XY}(z) = \iint_{xy \leq z} f_X(x)f_Y(y) , dxdy
$$

接下来拆分积分区域，按x的符号分情况讨论（x=0的情况可以直接忽略，因为X是绝对连续的，单点$x=0$的概率为0，对积分没有贡献）：

• 当$x > 0$时，不等式$xy \leq z$等价于$y \leq \frac{z}{x}$；
• 当$x < 0$时，不等式$xy \leq z$等价于$y \geq \frac{z}{x}$（两边除以负数，不等号方向反转）。

所以分布函数可以拆成两个积分的和：
$$
F_{XY}(z) = \int_{x>0} \left( \int_{-\infty}^{z/x} f_Y(y) , dy \right) f_X(x) , dx + \int_{x<0} \left( \int_{z/x}^{+\infty} f_Y(y) , dy \right) f_X(x) , dx
$$

第二步：证明XY是绝对连续的 #

要证明XY绝对连续，只需证明$F_{XY}(z)$是绝对连续函数：

• 对于固定的$x > 0$，$\int_{-\infty}^{z/x} f_Y(y) dy$是Y的分布函数经过变量替换得到的，而绝对连续函数的复合（这里是$z \mapsto z/x$）仍然是绝对连续的；
• 乘以可积函数$f_X(x)$后再积分，得到的函数依然保持绝对连续性（积分运算会保留绝对连续性）；
• 同理，第二个积分对应的函数也是绝对连续的；
• 两个绝对连续函数的和仍然是绝对连续函数。

由此可知$F_{XY}(z)$是绝对连续的，也就证明了XY是绝对连续随机变量。

第三步：推导XY的概率密度函数 #

概率密度函数是分布函数的导数（几乎处处成立），我们对$F_{XY}(z)$关于z求导，用莱布尼茨微分法则处理积分的导数：

对第一个积分求导时，内层积分对z的导数可以用链式法则计算：
$$
\frac{d}{dz} \int_{x>0} \left( \int_{-\infty}^{z/x} f_Y(y) dy \right) f_X(x) dx = \int_{x>0} f_X(x) \cdot f_Y\left( \frac{z}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} dx
$$

对第二个积分求导时，因为积分上限是$\frac{z}{x}$，所以导数会带有负号：
$$
\frac{d}{dz} \int_{x<0} \left( \int_{z/x}^{+\infty} f_Y(y) dy \right) f_X(x) dx = \int_{x<0} f_X(x) \cdot \left( -f_Y\left( \frac{z}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right) dx
$$

注意到$x < 0$时，$\frac{1}{x} = -\frac{1}{|x|}$，代入上式后负号抵消，我们可以把两个积分合并成一个统一的表达式：
$$
f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y\left( \frac{z}{x} \right) \cdot \frac{1}{|x|} dx
$$
这里x=0的点不影响积分结果，因为它的勒贝格测度为0，被积函数在x=0处无定义但不会改变积分值。

举个简单的验证例子：如果X和Y都是非负的随机变量，那么$x<0$的部分积分是0，密度就简化为$\int_{0}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z/x) \cdot \frac{1}{x} dx$，这完全符合我们的直觉。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1321037