关于映射$f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$可分解为分量函数$f=(f_1,...,f_n)$的严谨证明问询

嘿，我最近在尝试严谨证明一个基础结论：如果有映射 $f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$，那么我们可以把 $f$ 写成分量形式 $f=(f_1,...,f_n)$，其中每个 $f_i$ 都是从 $U$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数。不过我自己的证明思路总感觉不够严谨，想请大家帮忙看看怎么把它补全得更规范。

我自己的尝试推导过程是这样的：

假设 $f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$，那么对于任意的 $p \in U$，$f(p)$ 都是 $\mathbb{R}^n$ 中的元素，所以我们可以把 $f(p)$ 表示成 $(x_1,...,x_n)$ 的形式。这里我想到了两种推进方向：

• 第一种思路：既然 $f(p) = (x_1,...,x_n)$，那每个 $x_i$ 都依赖于输入的 $p$，所以它本质上是一个从 $U$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数 $x_i: U \rightarrow \mathbb{R}$。但这个推导太口语化了，没办法严谨地证明这些 $x_i$ 确实是合法的函数，也没法明确建立起它们和原映射 $f$ 的关联，总觉得缺了关键的严谨步骤。

写到这里我就卡住了，这个直观的结论要从函数定义、笛卡尔积的基础层面做严格证明的话，应该补充哪些细节？比如是不是要利用 $\mathbb{R}^n$ 作为 $\mathbb{R}$ 的 $n$ 次笛卡尔积的定义，或者借助投影函数来构造这些分量函数？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者A24601