关于有限区间积分$\int_0^L\frac{e^{-ikx}\sin\left(nx\right)}{\sin(x)}dx$的积分围道构造及求解方法咨询

嘿，如题所示，我现在正试着求解这个傅里叶积分：
$$
I=\int_0^L\frac{ e^{-ikx}\sin\left(n x\right)}{\sin x}dx
$$
其中$n\in\mathbb{Z}$，$L$是有限值。我之前有处理反常积分及其复延拓的经验，但这种有限区间的相关问题完全没接触过。

我尝试用实分析方法求解，结果毫无进展，根本得不到有效结果。我猜想复分析里的留数定理应该能帮上忙，但看了相关资料和讨论后，我还是不确定该怎么具体构造合适的积分围道，也不知道该选取什么样的被积函数来开展围道积分...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hyriusen